Question

Вероятность поражения вирусным заболеванием куста смородины равна 0,1. Найти вероятность того, что:
1) из 4 кустов смородины зараженных вирусом окажется 2 кустов:
2) из 300 кустов смородины зараженных вирусом окажется:
а) 27 кустов;
б) не менее 20 и не более 40 кустов.

Answer 1

все три задачи на применение формул вероятности повторных испытаний.

1)

n=4

m=2

p=0.1

q=1-p=1-0.1=0.9

_________

P₄,₂=?

решим задачу по формуле Бернулли. число сочетаний из 4 по два равно 4 !/(2!*(4-2)!)=4*3/2=6

р²=0.9²=0.81

q⁴⁻²=q²=0.1²=0.01

Pm,n=число сочетаний из n по m нужно умножить на рⁿ и умножить на

q^(n-m)- так по формуле Бернулли найдем искомую вероятность.

6*0.81*0.01=0.0486=4.86%

2. n=300

m=27

p=0.1

q=1-p=1-0.1=0.9

_______________

P₃₀₀, ₂₇=?

решаем по локальной теореме Муавра -Лапласа.

х=(m-np)/√(n*p*q)=

(27-300*0.1)/√(300*0.1*0.9)=-3/(3√3)≈-0.5773502691≈-0.578;

по таблице, учитывая четность функции φ(-x)=φ(x),  находим φ(-0.578)=φ(0.578)≈0.3372

искомая вероятность равна

φ(x)/√(n*p*q)=0.3372/(3√3)≈0.3372/5.1961524227≈0.06489=6.49%

3. n=300

20≤m≤40

p=0.1q=1-p=1-0.1=0.9

а=20

b=40

_______________

P ₃₀₀(20≤m ≤40)=?

P n(a≤m ≤b)=((Ф(х₂)-Ф(х₁))- интегральная формула Муавра - Лапласа.

х₂=(b-np)/√(npq)=(40-300*0.1)/√(300*0.9*0.1)=10/(3√3)≈10/5.1962≈1.92

х₁=(а-np)/√(npq)=((20-300*0.1)/√(300*0.1*0.9)= -10/(3√3)≈-5.1962≈1.92

с учетом нечетности функции Ф(х) искомая вероятность равна

Ф(х₂)-Ф(х₁)=

(1.92)-Ф(-1.92)=Ф(1.92)+Ф(+1.92)=2*Ф(1.92)≈2*0.0632=0.1264=12.64%