По определению, n! = 1 * 2 * 3 * … * n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! * 2! * 3! * 4! … * 100!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
Ответы
Ответ:
Необходимо вычеркнуть множитель 49!
Пошаговое объяснение:
1) Немного преобразуем данное выражение, расписав четные множители, а затем перегруппировав множители:
1! * 2! * 3! * 4! … * 100! =
1! * 2! * 3! * 4! * 5!* 6!* 7! * 8! *… *97! * 98! * 99! * 100! =
=1! * 2!* 3! * (3!*4) * 5! * (5!*6)* 7! * (7!*8)* ... *97! * (97!*98) * 99! * (99!*100) =
=1 * 2* (3!)² *4* (5!)² * 6* (7!)² * 8 * ... *(97!)² * 98 * (99!)² * 100 =
=1 * (3!)² * (5!)² * (7!)² * ... *(97!)² * (99!)² * (2*4*6*...*98*100) =
=(3! * 5! * 7! * ... * 97! * 99!)² * 2*(1*2*3*...*49*50) =
= (3! * 5! * 7! * ... * 97! * 99!)² * 2*(50!)
2) Теперь разберемся с числом 2*50!
2*50! = 49!*50*2=49!*100 = 49! * 10²
Таким образом исходное выражение равно следующему:
1! * 2! * 3! * 4! … * 100! = (3! * 5! * 7! * ... * 97! * 99!)² * 10² * 49!
То есть если мы вычеркнем множитель 49!, то останется квадрат натурального числа 3! * 5! * 7! * ... * 97! * 99! * 10
#SPJ1