Предмет: Математика, автор: HooligaHelp

Екстремуми Функції
3 задания помогите

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Fire1ce
3

1) Найти критические точки функции f(x)=x^4-4x^3-8x^2+1;

2) Найти точки экстремума функции f(x)=2x^3+3x^2-4;

3) Найти экстремумы функции f(x)=12x-x^3.

Ответ:

1) Критические точки - x=(-1), x=4, x=0.

2) Точки экэкстремума функции - x(min)=0 и x(max)=(-1).

3) Экстремумы функции - f(max)=16 и f(min)=(-16).

Пошаговое объяснение:

1) Найти критические точки функции f(x)=x^4-4x^3-8x^2+1.

Критические точки - значения х, при которых f'(x)=0.

\Large \boldsymbol {}  f(x)=x^4-4x^3-8x^2+1\\\\f'(x)=4*x^{4-1} -4*3x^{3-1} -8*2x^{2-1} +0=\\\\=4x^{3}-12x^{2}  -16x\\\\4x^{3}-12x^{2}  -16x=0\:\Big|_{}^{}*\frac{1}{4} \\\\x^3-3x^2-4x=0\\\\x(x^2-3x-4)=0\\\\x^2-3x-4=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{x_1=0}\\\\x_{2,3}=\frac{-b\±\sqrt{b^2-4ac} }{2a}=\frac{3\±\sqrt{(-3)^2-4*1*(-4)}}{2} =\frac{3\±\sqrt{25} }{2} \\\\x_2=\frac{3+5}{2} =\boxed{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_3=\frac{3-5}{2}=\boxed{-1}

Критические точки - x=(-1), x=4, x=0.

2) Найти точки экстремума функции f(x)=2x^3+3x^2-4.

Находим область определения, производную функции и критические точки.

\Large \boldsymbol {}  x \in(-\infty;+\infty)\\\\f'(x)=2*3x^{3-1}+3*2x^{2-1}  -0=6x^{2} +6x\\\\6x^{2} +6x=0\:\Big|_{}^{}:6\\\\x^2+x=0\\\\x(x+1) =0\\\\\boxed{x_1=0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{x_2=-1}

x=0 и х=(-1) - критические точки. Разбиваем этими числами координатную прямую на промежутки.

\Large \boldsymbol {}  +++++\boxed{-1} -----\boxed{0}+++++\\\\x_{max}=(-1)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_{min}=0

Точки экэкстремума функции - x(min)=0 и x(max)=(-1).

3) Найти экстремумы функции f(x)=12x-x^3.

Находим область определения, производную функции и критические точки.

\Large \boldsymbol {}  x \in(-\infty;+\infty)\\\\f'(x)=12*1-3*x^{3-1} =12-3x^{2} \\\\12-3x^{2} =0\\\\x^2=\frac{-12}{-3} \\\\\boxed{x_1=2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{x_2=-2}

x=2 и х=(-2) - критические точки. Разбиваем этими числами координатную прямую на промежутки.

\Large \boldsymbol {} -----\boxed{-2} +++++\boxed{2}-----\\\\x_{max}=2\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_{min}=(-2)\\\\f_{max}=f(x_{max})=f(2)=12*2-2^3=\boxed{16}\\\\f_{min}=f(x_{min})=f(-2)=12*(-2)-(-2)^3=\boxed{-16}

Экстремумы функции - f(max)=16 и f(min)=(-16).

Похожие вопросы
Предмет: Українська мова, автор: Nastyuha56