Question

Исследуйте функцию и постройте её график f(x)=x^4-2x^2

Answer 1

Исследуйте функцию и постройте её график f(x)=x⁴-2x²

1) Область определения и область значения

Ограничений нет. Значит D(f)=R. E(f)=R

2) точки пересечения с осями координат

$displaystyle f(x)=0\x^4-2x^2=0\x^2(x^2-2)=0\x_1=0; x_2= sqrt{2}; x_3=- sqrt{2}$

__+___-√2__-___0__-___ √2__+___

f(x)>0          f(x)<0      f(x)<0       f(x)>0

$displaystyle f(0)=0$

точки пересечения с Оу (0;0)
точки пересечения с Ох (0;0); (-√2;0) (√2;0)

3) четность или нечетность

$displaystyle f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2=x^4-2x^2=f(x)$

функция четная

4) точки максимума и минимума

$displaystyle f`(x)=(x^4-2x^2)`=4x^3-4x$

$displaystyle f`(x)=0\4x(x^2-1)=0\x_1=0; x_2=1; x_3=-1$

__-___ -1 ____+_____0__-__-1___+___

убывает/ возрастает/ убывает/ возрастает

Значит х=-1 и х=1 точки минимума
х=0 точка максимума

f(-1)=f(1)=-1
f(0)=0

5) точки перегиба

$displaystyle f``(x)=(4x^3-4x)`=12x^2-4$

$displaystyle f``(x)=0\12x^2-4=0\12x^2=4\x^2=1/3\x_1=1/ sqrt{3}; x_2= -1/ sqrt{3}$

___+____ - 1/√3____-______1/√3___+_
вогнутая               выпуклая            вогнутая

И график в приложении