Question

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми а=0,в=2,осью ох, и графиком функции f(x)=x3+1

Answer 1

Ответ:

$6$

Пошаговое объяснение:

Площадь криволинейной трапеции ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=a$ и $x=b$ (то есть от $a$ до $b$) и графиком функции $y=f(x)$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$\displaystyle S = \int\limits^b_a f(x)\,dx$

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y=x^3+1$, осью $Ox$ от $a=0$ до $b=0$. Запишем интеграл

$\displaystyle S = \int\limits^b_a f(x)\,dx = \int\limits^2_0 \big(x^3+1\big)\,dx$

Вспомним формулу $\int(f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx$

$\displaystyle =~\int\limits^2_0 x^3\,dx+\int\limits^2_0 1\,dx$

Теперь нам в помощь формулы  $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ и $\int 1\,dx=x+C$

$=~\dfrac{x^4}4+x~\bigg|\limits^2_0=\dfrac{2^4}{4}+2-\dfrac{0^4}{4}-0=4+2=6$