Question

написать уравнение касательной
y=(x^3-1)/sqrt x, х0=1

Answer 1

Ответ:

$y=3x-3$

Пошаговое объяснение:

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ выглядит так:

$y=f(x_0)+(x-x_0)\cdot f'(x_0)$

Запишем нашу функцию

$y'=\big((x^3-1)\cdot\sqrt{x}\big)'$

Найдем ее производную

$y'=\big((x^3-1)\cdot\sqrt{x}\big)'$

Вспомним формулу производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$$f'(x)=(x^3-1)'\cdot\sqrt{x}+(x^3-1)\cdot\big(\sqrt{x}\big)'=3x^2\cdot\sqrt{x}+\dfrac{x^3-1}{2\sqrt{x}}$

Найдем значение производной в точке $x_0=1$

$f'(1)=3x^2\cdot\sqrt{x}+\dfrac{x^3-1}{2\sqrt{x}}=3\cdot1^2\cdot\sqrt{1}+\dfrac{1^3-1}{2\sqrt{1}}=3$

Найдем значение функции в точке $x_0=1$

$f(1)=(x^3-1)\cdot\sqrt{x}=(1^3-1)\cdot\sqrt{1}=0$

Запишем уравнение касательной

$y=f(x_0)+(x-x_0)\cdot f'(x_0)$

$y=0+(x-1)\cdot 3=3x-3$

$y=3x-3$