Question

Число 2014!=1×2×3×4×....X 2013 x 2014 записали у формі добутку простих чисел.Скільки записали число 2?

Answer 1

Ответ:

Число 2 в 2014! равен 2005

Пошаговое объяснение:

Перевод:

Число 2014!=1·2·3·4·...·2013·2014 записали в форме произведения простых чисел. Сколько записали число 2?

Нужно знать:

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени определяемой следующей формулой:

$\displaystyle \tt \left [\frac{n}{p} \right ] +\left [\frac{n}{p^2} \right ] +\left [\frac{n}{p^3} \right ] +...+\left [\frac{n}{p^k} \right ] +...,$

где [a] означает целую часть числа а.

Решение. Так как 2¹⁰ = 1024 и 2¹¹ = 2048, то

$\displaystyle \tt \left [\frac{2014}{2^{10}} \right ] = \left [\frac{2014}{1024} \right ] =1, \;\; \left [\frac{2014}{2^{11}} \right ] =\left [\frac{2014}{2048}} \right ] =0.$

Поэтому в сумме достаточно рассмотреть степень 2 до 11 (начиная с этой степени все последующие слагаемые равны 0).

Число 2 в 2014! равен:

$\displaystyle \tt \left [\frac{2014}{2} \right ] +\left [\frac{2014}{2^2} \right ] +\left [\frac{2014}{2^3} \right ] +\left [\frac{2014}{2^4} \right ] +\left [\frac{2014}{2^5} \right ]+\left [\frac{2014}{2^6} \right ]+\left [\frac{2014}{2^7} \right ]+\\\\+\left [\frac{2014}{2^8} \right ]+\left [\frac{2014}{2^9} \right ]+\left [\frac{2014}{2^{10}} \right ]=$

$\displaystyle \tt =\left [\frac{2014}{2} \right ] +\left [\frac{2014}{4} \right ] +\left [\frac{2014}{8} \right ] +\left [\frac{2014}{16} \right ] +\left [\frac{2014}{32} \right ]+\left [\frac{2014}{64} \right ]+\left [\frac{2014}{128} \right ]+\\\\+\left [\frac{2014}{256} \right ]+\left [\frac{2014}{512} \right ]+\left [\frac{2014}{1024}} \right ]=$

=1007+503+251+125+62+31+15+7+3+1=2005.

#SPJ1