Question

Число 141 записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите наибольшее возможное значение п, для которого 141 меньше 105 в 10с. счисления. Для этого значения n 10 в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Answer 1

Ответ:

8 - наибольшее возможное значение n

97 - запись данного числа в десятичной системе счисления

Объяснение:

составим неравенство (по условию):

141ₙ < 105

воспользуемся развёрнутой записью числа и неравенство примет вид:

1 * n² + 4 * n¹ + 1 * n⁰ < 105

n² + 4n + 1 < 105

решим квадратное уравнение:

n² + 4n - 104 = 0

D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-104) = 432

$n_{1} =\frac{-b + \sqrt{D} }{2a} =\frac{-4+\sqrt{432} }{2 * 1} = -2 + 6\sqrt{3}$ ≈ 8,39

$n_{2} =\frac{-b - \sqrt{D} }{2a} =\frac{-4-\sqrt{432} }{2 * 1} = -2 - 6\sqrt{3}$ ≈ -12,39 (второй корень нас не интересует, т.к. он получился отрицательным)

округлим больший (первый) корень до целого в меньшую сторону (т.к. нас интересует наибольшее возможное значение n):

n ≈ 8,39 ≈ 8

получим запись числа в 10 системе счисления:

141ₙ = 141₈ = 1 * 8² + 4 * 8¹ + 1 * 8⁰ = 1 * 64 + 4 * 8 + 1 * 1 = 64 + 32 + 1 = 97

проверка:

97 < 105