Question

Чему равно наибольшее значение функции, только с объяснением пожалуйста
$f(x)= \cos(7x - \frac{2\pi}{21}) \times \cos(7x + \frac{5\pi}{21} )$
​

Answer 1

Формула произведения косинусов:

$\cos\alpha +\cos\beta =\dfrac{1}{2} \left(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right)$

Преобразуем:

$f(x)= \cos\left(7x - \dfrac{2\pi}{21}\right) \cos\left(7x + \dfrac{5\pi}{21}\right)=$

$=\dfrac{1}{2} \left(\cos\left(\left(7x- \dfrac{2\pi}{21}\right)+\left(7x+\dfrac{5\pi}{21}\right)\right)+\cos\left(\left(7x- \dfrac{2\pi}{21}\right)-\left(7x+\dfrac{5\pi}{21}\right)\right)\right)=$

$=\dfrac{1}{2} \left(\cos\left(7x- \dfrac{2\pi}{21}+7x+\dfrac{5\pi}{21}\right)+\cos\left(7x- \dfrac{2\pi}{21}-7x-\dfrac{5\pi}{21}\right)\right)=$

$=\dfrac{1}{2} \left(\cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)+\cos\left(- \dfrac{7\pi}{21}\right)\right)=\dfrac{1}{2} \left(\cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)+\cos\left(- \dfrac{\pi}{3}\right)\right)$

$=\dfrac{1}{2} \left(\cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)+\cos\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} \left(\cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)+\dfrac{1}{2}\right)=$

$=\dfrac{1}{2} \cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)+\dfrac{1}{4}$

Зная, что косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, оценим получившееся выражение для функции:

$-1\leqslant\cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)\leqslant 1$

$-\dfrac{1}{2} \leqslant\dfrac{1}{2} \cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)\leqslant \dfrac{1}{2}$

$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} \leqslant\dfrac{1}{2} \cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)+\dfrac{1}{4}\leqslant \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4}$

$-\dfrac{1}{4} \leqslant\dfrac{1}{2} \cos\left(14x+\dfrac{3\pi}{21}\right)+\dfrac{1}{4}\leqslant \dfrac{3}{4}$

Таким образом, наибольшее значение функции равно 3/4.

Ответ: 3/4