точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, поділяє гіпотенузу на відрізки завдовжки 10см і 24см. знайдіть площу трикутника.
Ответы
Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, поділяє гіпотенузу на відрізки завдовжки 10см і 24см. знайдіть площу трикутника.
Дано: ∆ ABC, ∠C=90º, окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
BM=10 см, AM=24 см.
Найти периметр треугольника.
Решение:
1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
AK=AM=24см,
BF=BM=10CK=CF=x см.
АB=AM+BM=24+10=34 см,
AC=AK+CK=(24+x) см,
BC=BF+CF=(10+x) см.
3) По теореме Пифагора:
(24 + x)²+ (10 +x)² = 34²
576 48 x x^2 100 20 x x^2 = 524,41
2 x^2 68 x -480 = 0
1 x^2 34 x -240 = 0
Ищем дискриминант:
D=34^2-4*1*(-240)=1156-4*(-240)=1156-(-4*240)=1156-(-960)=1156+960=2116;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(2root2116-34)/(2*1)=(46-34)/2=12/2=6;
x_2=(-2root2116-34)/(2*1)=(-46-34)/2=-80/2=-40.
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Значит, CK= CF= 6 см, AC=30 см, BC= 16 см.
Периметр Р = 80 см.
Рисунок дан во вложении.