Question

найти длину дуги x=e^t cos (t), y=e^t sin (t), если t изменяется от 0 до 1

Answer 1

Ответ: L=√2*(e-1).

Пошаговое объяснение:

Дифференциал длины дуги dL=√[1+y'(x)²]*dx. Так как dy=e^t*[sin(t)+cos(t)]*dt, а dx=e^t*[cos(t)-sin(t)]*dt, то y'(x)=dy/dx=[sin(t)+cos(t)]/[cos(t)-sin(t)]. Отсюда 1+y'(x)²=2/[cos(t)-sin(t)]², √[1+y'(x)²]=√2/[cos(t)-sin(t)] и тогда dL=√2*e^t*[cos(t)-sin(t)]*dt/[cos(t)-sin(t)]=√2*e^t*dt. Отсюда L=F(1)-F(0), где F(t)=∫dL=√2*∫e^t*dt=√2*e^t. Тогда L=√2*e^1-√2*e^0=√2*e-√2=√2*(e-1).