Помогите пожалуйста сделать задание С РЕШЕНИЕМ. Даю 100 баллов!
Докажите что ABCD - квадрат, если A(-3;-4;5), B(-2;0;-3), C(2;7;1), D(1;3;9)
(Задача связанна с векторами)
Ответы
Ответ:
ABCD не квадрат!
Пошаговое объяснение:
Так как задача связана с векторами, и нам даны трёхмерные координаты A(x,y,z), мы можем сделать вывод, что ABCD не квадрат.
Но почему? Ответ прост: координаты трёхмерные, а квадрат двумерный. Если сказать, что квадрат - это куб, то получится, что Вы сказали: "Египетские пирамиды - это египетские треугольники". Поэтому нельзя сравнивать трёхмерные и двумерные фигуры.
Доказательство.
чтобы доказать, что четырехугольник является квадратом, надо
воспользоваться таким признаком : если у ромба есть прямой угол, то он – квадрат.
ромб- это параллелограмм с двумя равными смежными сторонами,
сначала найдем координаты векторов →АВ и →DС, для чего от координат конца отнимем координаты начала.
→АВ(1;4;-8); действительно
х=-2-(-3)=1
у=0-(-4)=4
z=-3-5=-8
→DC(1;4;-8), действительно
х=2-1=1
у=7-3=4
z=--1=-8
т.к. векторы равны, то они сонаправлены и у них длины тоже равны, а по признаку параллелограмма четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом, стало быть, АВСD -параллелограмм.
возьмем теперь смежные стороны АВ и ВС. покажем, что они равны.
сначала найдем их координаты, потом возведем координаты в квадрат, потом найдем сумму квадратов и из суммы извлечем корень квадратный.
→АВ(1;4;-8)
→ВC(4;7;4)
найдем их длины, или модули.
I→АВI=√(1²+4²+(-8)²)=√(1+16+64)=√81=9
I→ВCI=√(4²+7²+4²)=√(16+49+16)=√81=9
у параллелограмма две смежные стороны равны. Значит, параллелограмм является ромбом.
докажем, что эти смежные стороны перпендикулярны. для этого найдем скалярное произведение векторов. на которых лежат эти стороны. напомню. что скалярное произведение векторов мы находим как сумму произведений соответствующих координат. ниже детально все это расписано.
→АВ*→ВC=→(1;4;-8)*→(4;7;4)=1*4+4*7-8*4=4+28-32=0, а ромб с одним прямым углом - квадрат.
Доказано.
Конечно, можно было доказывать и намного короче, но хотелось, чтобы перед экзаменами вы повторили максимальное количество учебного материала.
Понятно ли?