Question

Найдите те значения аргумента, при которых значения производной функции у=1-2sin^2nx равны -2n.

В ответе выберите наибольшее отрицательное значение аргумента.

1) -2
2) -1
3) -0,5
4) 0,75​

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac34=-0.75$

Объяснение:

$f(x)=1-2\sin^2\pi x$

Производная функции $f(x)=1-2\sin^2\pi x$ равна

$f'(x)=(1)'-\big(2\sin^2 \pi x\big)'=-4\sin\pi x\cdot(\sin \pi x)'=-4\sin \pi x\cdot\cos\pi x\cdot \pi\Big.=-4\pi\sin\pi x\cdot\cos\pi x=\boxed{-2\pi\cdot\sin (2\pi x)}$

Использованы формулы

$\big(f-g\big)'=f'-g'\big.\\\big(f(g)\big)'=f'(g)\cdot g'\Big.\\\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\big.$

Итак, производная равна $-2\pi$. Составим и решим уравнения

$-2\pi\cdot\sin(2\pi x)=-2\pi\Big.\\\sin(2\pi x)=1\Big.\\2\pi x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,~~n\in\mathbb{Z}\Big.\\x=\dfrac14+n,~~n\in\mathbb{Z}$

Необходимо указать наибольшее отрицательное значение. Такое достигается при $n=-1$.

$\dfrac14+n=\dfrac14-1=-\dfrac34$