В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) точка C1 —середина стороны AB, точка D — середина CC1. Точка F на стороне BC такова, что BF : FC=3 : 1. Докажите, что AD = C1F.
Ответы
Ответ:
Доказано, что AD = C₁F.
Объяснение:
Требуется доказать, AD = C₁F.
Дано: ΔАВС = равнобедренный;
АВ = ВС;
С₁ - середина АВ; D - середина CC₁;
F ∈ BC; BF : FC=3 : 1.
Доказать: AD = C₁F.
Доказательство:
Проведем С₁К || AC; FD ∩ AB = M.
1. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.
BF : FC = 3 : 1.
Пусть FC = a, тогда BF = 3a.
⇒ AB = BC = 4a.
AC₁ = C₁B (условие)
С₁К || AC (построение)
- Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
⇒ C₁К - средняя линия ΔАВС.
- Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.
⇒ С₁K = 0,5 AC
Также отметим:
АC₁ = C₁В = ВК = КС = 2а.
FC = a ⇒ FK = КС - FC = 2a - а = а
2. Рассмотрим ΔСКС₁.
KF = FC (п.1)
С₁D = DC (условие)
⇒ DF - средняя линия ΔСКС₁.
DF || С₁К.
3. Рассмотрим ΔАС₁С.
С₁D = DC (условие)
DF || С₁К (п.2)
С₁К || AC (построение)
⇒ DF || АС или DМ || АС
⇒ MD - средняя линия ΔАС₁С.
MD = 0,5 AC.
Также отметим:
АМ = МС₁ = а.
4. Рассмотрим ΔAMD и ΔС₁КF.
MD = C₁K = 0,5 AC.
AM = KF = a.
∠BKC₁ = ∠C (соответственные при C₁К || AC и секущей ВС)
∠C₁MF = ∠A (соответственные при MF || AC и секущей AВ)
- Углы при основании равнобедренного равны.
⇒ ∠А = ∠С.
- Если правые части равенств равны, то равны и левые.
⇒ ∠BKC₁ = ∠C₁MF
- Смежные углы в сумме равны 180°.
∠АМD = 180° - ∠C₁MF (смежные)
∠С₁KF = 180° - ∠BKC₁ (смежные)
⇒ ∠АМD = ∠С₁KF
ΔAMD = ΔС₁КF (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)
- В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
⇒ AD = C₁F.
#SPJ1
