Question

Может ли производная функции: y = ctg x + 4 x-3 принимать положительные значения? Ответ обоснуйте.

1) Может, так как одна дробь в производной заведомо больше другой.
2)Может, так как производная имеет вид суммы положительной и отрицательной дроби с неотрицательными знаменателями.
3)Не может, так как производная имеет вид суммы положительной и отрицательной дробей с неотрицательными знаменателями, из которых отрицательная заведомо больше.
4)Не может, так как производная имеет вид суммы двух отрицательных дробей с неотрицательными знаменателями.​

Answer 1

Формулы дифференцирования:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$(\mathrm{ctg}\,x)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$

Рассмотрим функцию:

$y =\mathrm{ctg}\,x + 4 x-3$

Находим производную:

$y' =-\dfrac{1}{\sin^2x} + 4$

Оценим, какие значения может принимать производная.

Вспомним, что синус принимает только значения из отрезка от -1 до 1:

$-1\leqslant \sin x\leqslant 1$

Тогда, квадрат синуса принимает значения из отрезка от 0 до 1:

$0\leqslant \sin^2 x\leqslant 1$

Величина, обратная квадрату синуса, тогда может принимать положительные значения, начиная с 1:

$\dfrac{1}{\sin^2 x} \geqslant 1$

Оценим противоположное выражение:

$-\dfrac{1}{\sin^2 x} \leqslant -1$

К обеим частям неравенства прибавим 4:

$-\dfrac{1}{\sin^2 x}+4 \leqslant 3$

Как видно, положительные значения производная принимать может.

Что касается варианта ответа - то они очень странные, так как в производной подразумеваются некоторые две (?) дроби.

Поскольку ответ утвердительный, то это либо вариант 1) либо вариант 2).

Рассмотрим вариант 1). Если под одной из дробей понимать число 4, то в принципе условие выполняется. Но вообще одного такого условия (что одна дробь больше другой) недостаточно, нужно еще уточнить на сколько больше.

Рассмотрим вариант 2). Опять же, если под положительной дробью понимать число 4, а под отрицательной - дробь вместе со знаком "минус", то условие вновь выполняется. Но снова, лишь оттого, что производная имеет такой вид еще не следует утвердительный ответ.

Ответ: да, может