Question

помогите пожалуйста, нужно исследовать функцию y=3/x + 2

Answer 1

$f(x)= frac{3}{x}+2$
1. область определения и значений функции
$x neq 0; \ xin(-infty;0)bigcup(0;+infty);$
$yin(-infty;+infty);$
2.парность и не парность, периодичность(не периодичная)
парност когда f(-x)=f(x);
непарность когда f(-x)=-f(x);
$f(-x)=- frac{3}{x}+2;\ f(-x) neq f(x);\ f(-x) neq -f(x)$
если бы не 2, то была бы непарною, а так, сама функция на 2 поднята вверх
3. поищем границы, для нахождения асимптот
$lim_{x to -infty}( frac{3}{x}+2 ) =(frac{3}{-infty}+2=(2-0)-$подходит к значению 2 "снизу"
$lim_{x to +infty}( frac{3}{x}+2 )=( frac{3}{+infty+2})=(2+0))$ подходит к значению 2 сверху, значит у=2 горизонтальная асимптота на $infty$
посмотрим, как ведет себя функция у разрывов, он у нас один, х=0,
посмотрим чуть-чуть "левее" и "правее" на бескон малую величину
$lim_{x to -0}( frac{3}{x}+2 )=( frac{3}{-0}+2)=-infty;$
$lim_{x to +infty}( frac{3}{x}+2 )=( frac{3}{+0}+2 )=+infty$
это разрыв второго рода, у нас функция левее оси ординат стремиться к $-infty$ а справа к$+infty$
4.производные и экстремумы
$y'= -frac{3}{x^2} ;\ y'=0; ==>x^2->infty({pminfty}^{2}})$
у нас нету єкстремумов, лишь точки разрыва, причем функция постоянно
падает, на всей области определения( при $xin(-infty;0)bigcup(0;+infty)$
5. можно ещё на вогнутость(выпуклость) и точки перегина посмотреть, для этого вторая производная берёться и приравниветься к 0
$f''(x)=(f'(x))'= frac{6}{x^3}$
опять точек перегина нет, лишь разрыв
но при x<0, f''(x)<0=> f(x) выпукла вверх
при x>0, f''(x)>0 =>f(x)вогнута вниз
$textcopyright$