Question

найдите точки экстремиума функции: f(x)=x⁴/2-x²​

Answer 1

Найдем производную данной функции

((x^4)/(2 - x^2))' = ((x^4)'(2 - x^2) - (x^4)(2 - x^2)')/((2 - x^2)^2) =

$\frac{4x {}^{3} (2 - {x}^{2} ) - {x}^{4}( -2x) }{(2 - {x}^{2}) {}^{2} } = \frac{8 {x}^{3} - 4 {x}^{5} + 2 {x}^{5} }{(2 - {x}^{2}) {}^{2} } = \frac{8 {x}^{3} - 2 {x}^{5} }{(2 - {x}^{2}) {}^{2} } = \frac{2 {x}^{3} (4 - {x}^{2} )}{(2 - {x}^{2}) {}^{2} }$

Критические точки - точки, при которых производная принимает значение равное 0, или не определена.

В нашем случае четыре критические точки

$x = \sqrt{2}$

$x = - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 2$

Первые две точки не подходят, потому что при них сама функция не определена.

Значит у нас осталось две точки

$x = 2$

$x = - 2$

Это и будут наши точки экстремума

Ответ: x = 2; x = -2