Question

НИКТО не может решить это задание
В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С – прямой) произведена высота СН. Биссектрисы HL и HN треугольников АСН и ВСН относятся как 3 : 4, а радиус окружности вписанной в треугольник АВС равен 15. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник ВСН

Answer 1

△ACH~△ABC (по двум углам: прямоугольные, ∠A - общий)

△CBH~△ABC (прямоугольные, ∠B - общий)

=> △ACH~△CBH

Высота из прямого угла делит треугольник на подобные друг другу и исходному.

В подобных треугольниках отношение соответствующих отрезков равно коэффициенту подобия.

Соответствующими являются отрезки, построенные по одинаковому алгоритму.

Стороны против равных углов, биссектрисы равных углов, радиусы вписанных окружностей являются соответствующими отрезками, их отношение равно коэффициенту подобия.

Биссектрисы относятся 3:4, так же относятся и гипотенузы

AC/CB =HL/HN =3/4

AC=3x, CB=4x, AB=√(AC^2+CB^2)=5x (т Пифагора)

r_CBH / r_ABC =CB/AB =4/5 => r_CBH =15*4/5 =12