Question

Помогите пожалуйста срочно:
y''+2y'+y=0, y(0) = 0 и y(1) = 2

Answer 1

Ответ:

ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами.

$y''+2y'+y=0\ \ ,\ \ \ y(0)=0\ ,\ y'(1)=2$

Характеристическое уравнение:  

$\lambda ^2+2\lambda +1=0\ \ ,\ \ (\lambda +1)^2=0\ \ ,\ \ \lambda _{1,2}=-1$

Общее решение:   $y_{o}=e^{-x}\cdot (C_1+C_2x)$

Подставим начальные условия .

$y_{o}(0)=e^0\cdot (C_1+C_2\cdot 0)=0\ \ ,\ \ C_1=0\\\\y'_{o}=-e^{-x}\cdot (C_1+C_2x)+e^{-x}\cdot C_2=e^{-x}\cdot (C_2-C_1-C_2x)\\\\y'_{o}(1)=e^{-1}\cdot (C_2-0-C_2\cdot 1)=e^{-1}\cdot 0=0\ \ ,\ \ 0\ne 2$  

Второе начальное условие задано некорректною Найти вторую константу невозможно . А поэтому частное решение для таких начальных условий не существует .

Возможно в условии задано  $y'(0)=0\ ,\ y(1)=2$  ,  тогда

$y_{o}(1)=e^{-1}\cdot (C_1+C_2)=2\ \ ,\ \ C_1+C_2=2e\ \ ,\\\\y_{o}'(0)=e^0\cdot (C_2-C_1)=0\ \ ,\ \ -C_1+C_2=0\ \ \Rightarrow \\\\C_1=C_2=e$

Частное решение  $\tilde {y}=e^{-x}\cdot (e+ex)=e^{-x+1}\cdot (1+x)$