Предмет: Алгебра, автор: Reideen

Решить с использованием двойного интеграла

Приложения:

Ответы

Автор ответа: mathkot
1

Ответ:

\boxed{ \boldsymbol {S =\frac{16\sqrt{15} }{3}  } } квадратных единиц

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по y, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области G будет в виде:

\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dy \int\limits^{\xi_{2}(y)}_{\xi_{1}(y)} {f(x,y)} \, dx } }

При этом функции \xi_{1} (y), \xi_{2} (y) - функции ограничивающие область  слева и справа соответственно (смотрите рис(1)).

По теореме:

Если функция y  = f(x) непрерывна на \mathbb R и является четной, то \boxed{ \displaystyle \int\limits^{a}_{-a} {f(x)} \, dx =2 \int\limits^a_0 {f(x)} \, dx } при a > 0.

Рассмотрим функцию f(y) = 4 - \dfrac{4y^{2}}{15}.

f(-y) =4 - \dfrac{4\cdot (-y)^{2}}{15} = 4 - \dfrac{4y^{2}}{15}

Так как f(-y) = f(y), то по определению функция является четной.

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области G плоскости:

\boxed{ \boldsymbol{ S = S(G) =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy }}

Смотрите рис(2)

Область (голубая область) G:

y^{2} = 10x + 25 \Longrightarrow x = 0,1y^{2} -2,5

y^{2} = -6x + 9 \Longrightarrow 6x = 9 - y^{2} \Longrightarrow x = 1,5 - \dfrac{y^{2}}{6}

Найдем абсциссу пересечения графиков y^{2} = 10x + 25 и y^{2} = -6x + 9

10x + 25 = -6x + 9

16x = -16|:16

x = -1

------------------------------------

y^{2} = 10 \cdot (-1) + 25 = -10 + 25 = 15

y_{1,2} = \pm \sqrt{15}

Границы интегрирования:

a = -\sqrt{15}

b = \sqrt{15}

\displaystyle S = \iint_{G} \, dxdy = \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \, dy  \int\limits^{1,5 - \frac{y^{2}}{6} }_{0,1y^{2} -2,5}  \, dx =  \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg(x \bigg|_{0,1y^{2} -2,5}^{ 1,5 - \frac{y^{2}}{6} } \bigg) \, dy =

= \displaystyle   \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( \bigg (1,5 - \frac{y^{2}}{6} \bigg) -  \bigg ( 0,1y^{2} -2,5 \bigg)  \bigg) \, dy = \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( 1,5 - \frac{y^{2}}{6} -  0,1y^{2} +2,5   \bigg) \, dy =

= \displaystyle   \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( 4 - \frac{y^{2}}{6} -  \frac{y^{2} }{10}   \bigg) \, dy = \int\limits^{\sqrt{15} }_{-\sqrt{15} } \bigg( 4 - \frac{4y^{2}}{15}   \bigg) \, dy = 2\int\limits^{\sqrt{15} }_{0 } \bigg( 4 - \frac{4y^{2}}{15}   \bigg) \, dy =

\displaystyle = 8 \Bigg( \bigg(y - \frac{y^{3}}{3 \cdot 15}  \bigg) \bigg |_{0}^{\sqrt{15} }  \Bigg) = 8\Bigg(  \sqrt{15}  - \frac{(\sqrt{15}) ^{3}}{45}    \Bigg) = 8\Bigg(  \sqrt{15}  - \frac{15\sqrt{15} }{45}    \Bigg) =

\displaystyle = 8\sqrt{15}  \Bigg(1 - \frac{1}{3}  \Bigg) = 8\sqrt{15}  \Bigg( \frac{3 -1}{3}  \Bigg) = \frac{16\sqrt{15} }{3} квадратных единиц.

Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Другие предметы, автор: stukanolesya
Помогите пожалуйста ответить
Вариант 1
1. Дополните фразу: «___________________ является местное повреждение
целостности тканей организма в результате механических, физических и
химических воздействий».Дополните информацию:
2. Дополните информацию: «Рану _____________ промывать проточной водой, т.к.
это приводит к ________________________»
3. «Бинт раскрывают ____________ ____________» ( выберите правильный ответ):
а) справа налево;
б) слева направо;
в) сверху вниз;
г) снизу вверх.
4. Найдите ошибку, допущенную при перечислении назначения повязки:
а) повязка закрывает рану;
б) повязка предохраняет рану от загрязнения ;
в) повязка предохраняет рану от воздействия воздушной среды;
г) повязка уменьшает боль.
5. Ситуационная задача
При падении военнослужащий наткнулся ногой на острый сук, который застрял в
мягких тканях бедра. Определите тип раны и характер ваших действий.
Вариант 2
1. Дополните информацию:
«При наложении повязки головку бинта берут в правую руку, а начало – в левую
так, чтобы скатка располагалась ____________» ( выберите правильный ответ):
сверху;
справа;
слева;
снизу.
2. Дополните информацию: «Края раны следует обработать _____________,
_____________ лить в рану _______________, т.к. это приводит к _______________».
3. Дополните информацию: «Колотая рана характеризуется небольшой зоной
повреждения тканей и может стать источником ___________ и причиной
_______________».
4. Дополните информацию: «Извлекать из раны торчащие инородные предметы
__________, т.к. они ______________, следует их ___________ с помощью
______________».
5. Ситуационная задача.
Вы работали на даче и при корчевании старой яблони сильно повредили предплечье
измазанным в земле топором. Рана глубокая и длинная, открылось обильное
кровотечение. На даче только больная бабушка. Ваши действия?