Предмет: Алгебра, автор: Reideen

Решить с использованием двойного интеграла

Приложения:

Ответы

Автор ответа: mathkot
1

Ответ:

\boxed{ \boldsymbol {S = \frac{8}{3} } } квадратных единиц

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области G будет в виде:

\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }

При этом функции \phi_{1} (x), \phi_{2} (x) - функции ограничивающие область  снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Взятие интеграла \displaystyle \int\limits^{1}_{-1} \bigg(2 - 2x^{2}  \bigg)  \, dx с границами от -1 до 1 возможно, так как функция f(x) = 2 - 2x^{2} является четной, так как f(x) = f(-x).

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области G плоскости:

\boxed{ \boldsymbol{ S = S(G) =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy }}

Смотрите рис(2)

Область G:

y = 2x^{2}

y = 2

Найдем абсциссы пересечения графиков y = 2x^{2} и y = 2:

2x^{2} = 2|:2

x^{2} = 1

x^{2} -1 =0

(x - 1)(x + 1) = 0

x - 1 = 0 или x + 1 = 0

x_{1,2} = \pm1

Границы интегрирования: от -1 до 1

\displaystyle S= \iint_{G} dxdy = \int\limits^{1}_{-1} \, dx   \int\limits^{2}_{2x^{2} } \, dy = \int\limits^{1}_{-1} \bigg (y \bigg|_{2x^{2} }^{2} \bigg)  \, dx =\int\limits^{1}_{-1} \bigg(2 - 2x^{2}  \bigg)  \, dx =

\displaystyle  = \bigg( 2x - \frac{2x^{3}}{3} \bigg) \bigg |_{-1}^{1} = \bigg( 2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^{3}}{3} \bigg) \bigg - \bigg( 2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^{3}}{3} \bigg) \bigg =

\displaystyle = \bigg( 2 - \frac{2}{3} \bigg) \bigg - \bigg( -2 +\frac{2}{3} \bigg) \bigg = 2 - \frac{2}{3} + 2  - \frac{2}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3}  - \frac{4}{3}=\frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3} квадратных единиц.

Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: elina195