Question

Последовательность $\displaystyle S_n = \sum \limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} +\sqrt{k+1} }$ для натуральных n . $\displaystyle N = \sum^{2021} \limits _{k=1} S_k(S_k +2) .$ Сколько натуральных делителей у числа N ?


( Задачу задавали на олимпиаде за 8 класс , поэтому пожалуйста напишите решение по подробней )

Answer 1

Ответ:  16.

Объяснение: Задача-страшилка. Заметим, что

$\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$

Поэтому

$S_n=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\ldots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+1}-1.$

$N=\sum\limits_{k=1}^{2021}S_k(S_k+2)=\sum\limits_{k=1}^{2021}(\sqrt{k+1}-1)(\sqrt{k+1}+1)=\sum\limits_{k=1}^{2021}k=\dfrac{2021\cdot 2022}{2}=$

$=\dfrac{(43\cdot 47)\cdot( 2\cdot 3\cdot 337)}{2}=3\cdot 43\cdot 47\cdot 337.$ Получили разложение числа N на простые множители. Каждый натуральный делитель числа N имеет вид  $3^a\cdot 43^b\cdot 47^c\cdot 337^d,$  где a, b, c  и d могут принимать значения 0 и  1. Поэтому всего натуральных делителей  $2^4=16$.

Замечание. Разложение чисел 2021 и 2022 на простые множители любой участник олимпиады в 2022 году должен знать наизусть. Простота чисел 43 и 47 очевидна, простоту числа 337 придется проверять, деля его на простые числа, не превосходящие целой части корня из 337 - (это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17).