Question

Знайдіть суму найбільшого та найменшого
значення функції
на проміжку [0;3].
f(x) = 2x³ + 3x² - 12x + 1

Answer 1

Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 на промежутке [0;3].

Ответ:

Сумма наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке [0;3] равна 40.

Пошаговое объяснение:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке:

1. Находим критические точки (приравниваем производную функции к нулю).

2. Вычисляем значения функции в критических точках, которые которая принадлежат заданному промежутку и в крайних точках промежутка.

3. Выбираем наибольшее и наименьшее из них.

Найдём производную функции:

$\large \boldsymbol {} f'(x)=(2x^{3} )'+(3x^{2} )'-(12x)'+(1)'=2*3x^{3-1} +3*2x^{2-1} -\\\\-12*1+0=6x^{2} +6x-12$

Приравниваем производную к нулю:

$\large \boldsymbol {} \displastyle 6x^{2} +6x-12=0\:\Big|_{}^{}:6\\\\x^{2} +x-2=0\\\\D=b^2-4ac=1^2-4*1*(-2)=1+8=9\\\\x_{1,2}=\frac{-b\±\sqrt{D} }{2a}=\frac{-1\±3}{2} \\\\ x_1=\frac{-1+3}{2}=1 \:\in [0;3]\\\\ x_2=\frac{-1-3}{2}=-2 \:\notin [0;3]$

Соответственно, единственная критическая точка, которая принадлежит промежутку [0;3] - х=1.

Находим значение функции в этой критической точке и крайних точках отрезка, тоесть f(1), f(0) и f(3).

$\large \boldsymbol {} f(1)=2*1^{3}+3*1^{2}-12*1+1=2+3-12+1=\boxed{-6} \\\\f(0)=2*0^{3}+3*0^{2}-12*0+1=\boxed{1} \\\\f(3)=2*3^{3}+3*3^{2}-12*3+1=54+27-36+1=\boxed{46}$

Наибольшее значение функции на отрезке [0;3] - y=46, наименьшее - y=(-6). Найдём их сумму:

46+(-6)=40