Question

Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально
скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а ее скорость через 4 с равна 1м/с. Через
сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?
Желательно с решением. Спасибо

Answer 1

Ответ:
14.8
Пошаговое объяснение:
Пусть v(t) - скорость лодки в момент времени t. Тогда, согласно второму закону Ньютона:

mv′=F

где m - масса лодки, F - сила сопротивления воды.

Так как скорость лодки пропорциональна сопротивлению воды, то F=kv. Получаем уравнение:

v′=kmv=k1v.

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:

v=Cek1t

Подставив начальные условия v(0)=1,5 и v(4)=1, получим:

C=1,5; k1=14ln(23).

Получаем, скорость движения лодки:

v=1,5e0,25ln(2/3)t

Подставляя v=1см/сек=0,01м/сек, получим время:

0,01=1,5e0,25ln(2/3)t

0,25ln(2/3)t=ln(0,01/1,5)

t=4ln(0,01/1,5)ln(2/3)≈49.43

Таким образом, скорость уменьшится до 1 см/сек через 49.43 сек.

Так как скорость, это производная от пути, то есть s′(t)=v(t). Найдем s(t):

s=∫1,5e0,25ln(2/3)t=1,50,25ln(2/3)e0,25ln(2/3)t+C

Так как s(0)=0, то получаем:

C=−1,50,25ln(2/3) ⇒ s=1,50,25ln(2/3)(e0,25ln(2/3)t−1)

Так как v(t)=0 при t→∞, то путь который лодка пройдет до остановки равен:

limt→∞s(t)=−1,50,25ln(2/3)≈14.8

Таким образом, путь который лодка пройдет до остановки: 14.8
Не благодари : )