Исследовать функцию и построить ее график.
Ответы
Ответ:
1. х ∈ R
2. функция не является четной или нечетной, то есть, общего вида.
3. Точка пересечения с осью 0у (0; -2). Точки пересечения с 0х: (-2; 0) и (1; 0).
4. Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Функция возрастает на промежутке [-1; 1]; убывает на промежутках: [-∞; -1];[1; +∞)
x min = -1; x max = 1.
6. Вогнута при х ∈ (-∞; 0];
Выпукла при х ∈ [0; +∞).
х перегиба = 0
Пошаговое объяснение:
Исследовать функцию и построить ее график.
f(x) = -x³ + 3x - 2
1. ОДЗ:
х ∈ R
2. Четность, нечетность.
Если f(-x) = f(x) - функция четная;
если f(-x) = -f(x) - функция нечетная
f(-x) = - (-x)³ +3 · (-x) - 2 = x³ - 3x - 2
f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть, общего вида.
3. Пересечение с осями.
1) C осью 0у:
х = 0; f(x) = -2
Точка пересечения с осью 0у (0; -2)
2) С осью 0х:
f(x) = 0; -x³ + 3x - 2 = 0
-x³ + x + 2x - 2 = 0
-x(x - 1)(x + 1) + 2(x - 1) = 0
(x - 1)(2 - x² - x) = 0
х - 1 = 0 ⇒ х = 1
или
-х² - х + 2 = 0 |:(-1)
x² + x - 2 = 0
По теореме Виета:
х ₁= -2; х₂ = 1
Точки пересечения с 0х: (-2; 0) и (1; 0).
4. Асимптоты.
Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную:
f'(x) = -3x² + 3
Приравняем ее к нулю. Найдем корни. Отметим их на координатной оси и найдем знак производной на промежутках.
Если ПЛЮС, функция возрастает, если МИНУС - убывает.
f'(x) = 0
-3x² + 3 = 0
3(1 - x)(1 + x) = 0
x₁ = 1; x₂ = -1.
Функция возрастает на промежутке [-1; 1];
убывает на промежутках: [-∞; -1];[1; +∞]
Если производная меняет знак с минуса на плюс - это точка min; если с плюса на минус - max.
x min = -1; x max = 1.
См. вложение.
f(-1) = -4; f(1) = 0
6. Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка:
f''(x) = -6x
Приравняем к нулю, найдем знаки на промежутках.
Если плюс - вогнута, минус - выпукла.
-6х = 0
х = 0
Вогнута при х ∈ (-∞; 0];
Выпукла при х ∈ [0; +∞)
х перегиба = 0
См. вложение.
f(0) = -2
Строим график.
#SPJ1
