Question

Чему равен остаток от деления $11^{2022} - 5^{2022}$ на 27

Answer 1

Ответ:

$18$

Пошаговое объяснение:

Вспомним сравнение по модулю

Если $x\stackrel{27}{\equiv}r$, то $x^a\stackrel{27}{\equiv}r^a$. Верно и обратное

Нам необходимо свести это страшное выражение к выражению с удобными степенями, а именно 1 и -1.

Используем это и преобразуем выражения

$11^{2022}-5^{2022}=11^{6}\cdot11^{2016}-5^{6}\cdot5^{2016}=11^{6}\cdot\big(11^{18}\big)^{112}-5^{6}\cdot\big(5^{18}\big)^{112}$

Мы разложили таким образом. Теперь скажем, что $11^{18}\stackrel{27}{\equiv}1$ и $5^{18}\stackrel{27}{\equiv}1$.

Так же $11^3\stackrel{27}{\equiv}8$ и $5^3\stackrel{27}{\equiv}17$

Запишем

$11^{2022}-5^{2022}~\stackrel{27}{\equiv}~11^6-5^6=(11^3-5^3)(11^3+5^3)~\stackrel{27}{\equiv}~(8-17)(8+17)=-9\cdot25=\Big.\\=-225~\stackrel{27}{\equiv}~270-225=45~\stackrel{27}{\equiv}~45-27=18$