Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{D} {(x + y)} \, dxdy = \frac{208}{15} } }$

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область  снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Объяснение:

Смотрите рис(2)

Область $D:$

$x = 0;$

$y = x^{2} + 2x - 3;$

$2y = 3x \Longrightarrow y = 1,5x;$

Найдем вершину графика $y = x^{2} + 2x - 3:$

$x_{0} = \dfrac{-b}{2a}$ (где $a,b$ коэффициента графика в вида $y = ax^{2} + bx + c$)

$x_{0} = \dfrac{-2}{2} =-1$

$y(x_{0}) = (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 -2 - 3 = 1 - 5 = -4$

Координаты вершины: $(-1;-4)$

Найдем абсциссу пересечения графиков $y = 1,5x$ и $y = x^{2} + 2x - 3$

$x^{2} + 2x - 3 = 1,5x$

$x^{2} +0,5x - 3 = 0$

$D = 0,25 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 0,25 + 12 = 12,25 = 3,5^{2}$

$x_{1} = \dfrac{-0,5 + 3,5}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5$ - не походит (смотрите рис (2))

$\boxed{ x_{2} = \dfrac{-0,5 - 3,5}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2 }$

Границы интегрирования: от -2 до 0

$\displaystyle \iint_{D} {(x + y)} \, dxdy = \int\limits^{0}_{-2} \, dx \int\limits^{1,5x}_{ x^{2} + 2x - 3} (x + y) \, dy = \int\limits^{0}_{-2} \, dx \bigg( \bigg (xy + \frac{y^{2}}{2} \bigg )\bigg |_{x^{2} + 2x - 3}^{1,5x} \bigg) =$

$\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (xy + \frac{y^{2}}{2} \bigg )\bigg |_{x^{2} + 2x - 3}^{1,5x} \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (x \cdot1,5x + \frac{(1,5x)^{2}}{2} \bigg )- \bigg( x(x^{2} + 2x - 3) + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (1,5x^{2} + \frac{2,25x^{2} }{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) \bigg) \, dx =$

Преобразуем подынтегральное выражение:

$\displaystyle \bigg (1,5x^{2} + \frac{2,25x^{2} }{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) =$

$= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{x^{4} + 4x^{2} + 9 + 4x^{3} - 6x^{2} - 12x}{2} \bigg) =$

$= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{x^{4} +4x^{3} - 2x^{2} - 12x + 9 }{2} \bigg) =$

$= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + 0,5x^{4} + 2x^{3} - x^{2} - 6x + 4,5 \bigg) =$

$= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} - x^{3} - 2x^{2} + 3x - 0,5x^{4} - 2x^{3} +x^{2} + 6x - 4,5 \bigg) =$

$= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} - x^{3} - 2x^{2} + 3x - 0,5x^{4} - 2x^{3} +x^{2} + 6x - 4,5 \bigg) =$

$= -0,5x^{4} - 3x^{3} + 1,625x^{2} + 9x - 4,5$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (1,5x^{2} + \frac{2,25x^{2} }{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( -0,5x^{4} - 3x^{3} + 1,625x^{2} + 9x - 4,5 \bigg) \, dx =$

$=\bigg( -0,5 \cdot \dfrac{ x^{5}}{5} - 3 \cdot \dfrac{x^{4}}{4} + 1,625 \cdot \dfrac{x^{3}}{3} + 9 \cdot \dfrac{x^{2} }{2} - 4,5x \bigg) \bigg|_{-2}^{0} =$

$=\bigg( -0,5 \cdot \dfrac{(- 2)^{5}}{5} - 3 \cdot \dfrac{(-2)^{4}}{4} + 1,625 \cdot \dfrac{(-2)^{2}}{3} + 9 \cdot \dfrac{(-2)^{2} }{2} - 4,5 \cdot(-2) \bigg) = \dfrac{208}{15}$