Предмет: Алгебра, автор: Reideen

Задание приложено...

Приложения:

Ответы

Автор ответа: mathkot
1

Ответ:

Пределы:

1) \boxed{ \boldsymbol{  \displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{3n + 1}{3n}  \bigg)^{n} =  \sqrt[3]{e} }   }

2) \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{n + 1}{n}  \bigg)^{5n + 2} = e^{5}  }   }

3) \boxed{ \boldsymbol{  \displaystyle  \lim_{n \to \infty} \bigg (1 - \dfrac{1}{n}  \bigg)^{n} =\frac{1}{e}   }   }

Примечание:

\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \dfrac{1}{n}  \bigg)^{n} = e} } - второй замечательный предел

Объяснение:

1)

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{3n + 1}{3n}  \bigg)^{n} = \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{3n }{3n} + \frac{1}{3n}   \bigg)^{n} = \lim_{n \to \infty} \bigg(1 + \frac{1}{3n}   \bigg)^{n} =

\displaystyle = \lim_{n \to \infty}  \sqrt[3]{\bigg(1 + \frac{1}{3n}  \bigg)^{3n}} = \sqrt[3]{e}

2)

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{n + 1}{n}  \bigg)^{5n + 2} = \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{n}{n} + \frac{1}{n}   \bigg)^{5n + 2} = \lim_{n \to \infty} \bigg(1 + \frac{1}{n}   \bigg)^{5n + 2} =

\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \bigg(1 + \frac{1}{n}   \bigg)^{5n } \cdot \lim_{n \to \infty} \bigg(1 + \frac{1}{n}   \bigg)^{2} = \lim_{n \to \infty} \bigg( \bigg(1 + \frac{1}{n}   \bigg)^{n} \bigg)^{5}\cdot1 = e^{5}

Рассмотрим предел \lim_{n \to \infty} \bigg(1 + \dfrac{1}{n}   \bigg)^{2}, так как n \to \infty \Longrightarrow \dfrac{1}{n} \to 0, тогда

\lim_{n \to \infty} \bigg(1 +0   \bigg)^{2} =  \lim_{n \to \infty} 1 = 1.

3)

\displaystyle  \lim_{n \to \infty} \bigg (1 - \dfrac{1}{n}  \bigg)^{n} = \lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \bigg( -  \dfrac{1}{n} \bigg)  \bigg)^{n} =  \lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \dfrac{1}{-n}  \bigg)^{n} =

\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \bigg( \bigg (1 + \dfrac{1}{-n}  \bigg)^{-n} \bigg)^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}.

Похожие вопросы
Предмет: Қазақ тiлi, автор: Аноним
Предмет: Английский язык, автор: 1357967
Предмет: Українська мова, автор: diana97788