Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

1) $\boldsymbol { \boxed{ \lim_{n \to \infty} a_n = 1,5 } }$

2) $\boldsymbol { \boxed{ \lim_{n \to \infty} x_n = 1,6 } }$

Примечание:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \dfrac{b_{1}}{1 - q}$

Объяснение:

1)

$\displaystyle a_{n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}$

Рассмотрим последовательность

$b_{n} = \dfrac{1}{3^{n}}$

$b_{n + 1} = \dfrac{1}{3^{n + 1}}$

$b_{n + 2} = \dfrac{1}{3^{n + 2}}$

Так как  $b^{2}_{n + 1} = b_{n} \cdot b_{n + 1}$ - верно, то последовательность $b_{n}$ является геометрической прогрессией.

$b_{1} = \dfrac{1}{3}$

$q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} =\dfrac{\dfrac{1}{3^{2}} }{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{3^{2}} = \dfrac{1}{3}$

Так как $q < 1$, то данная последовательность $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}$ является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда $S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{\dfrac{1}{3} }{1 - \dfrac{1}{3} } = \dfrac{\dfrac{1}{3} }{\dfrac{2}{3} } = \dfrac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} = 0,5$.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =\lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \underbrace{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}}_{S} \bigg) = \lim_{n \to \infty} (1 + 0,5) = \lim_{n \to \infty} 1,5 =1,5$

2)

$\displaystyle x_{n} = \frac{\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}}$

По аналогии с 1) примером последовательности $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}$ и

$\displaystyle \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}$ являются суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда:

$S_{2} = \dfrac{\dfrac{1}{2} }{1 - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{1}{2} } =1$

$S_{5} = \dfrac{\dfrac{1}{5} }{1 - \dfrac{1}{5} } = \dfrac{\dfrac{1}{5} }{\dfrac{4}{5} } = 0,25$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}} = \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} \bigg)}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}} \bigg)} =$

$= \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \underbrace{ \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} \bigg)}_{S_{2}} }{\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1 +\lim_{n \to \infty} \underbrace{ \bigg( + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}} \bigg)}_{S_{5}}} = \dfrac{ 1 + \lim_{n \to \infty} S_{2} }{1 + \lim_{n \to \infty} S_{5} } = \dfrac{1 + 1}{1 + 0,25} =$

$= \dfrac{2}{1,25} =1,6$.