Question

Решите уравнение
х^3 + х^2 - 8х - 7 = 0
С подробным решением, спасибо!

Answer 1

Ответ:

x1 ≈ -2,919; x2 ≈ -0,862; x3 ≈ 2,781

Объяснение:

х^3 + х^2 - 8х - 7 = 0

Можно воспользоваться методом Кардано, но это долго и муторно.

Поэтому я подберу корни численно, но приближенно.

f(x) = х^3 + х^2 - 8х - 7

f(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 8(-3) - 7 = -27 + 9 + 24 - 7 = -1 < 0

f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 7 = -8 + 4 + 16 - 7 = 5 > 0

Так как знак функции поменялся, то она где-то прошла через 0.

x1 ∈ (-3; -2)

f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 8(-1) - 7 = -1 + 1 + 8 - 7 = 1 > 0

f(0) = -7 < 0

x2 ∈ (-1; 0)

f(1) = 1^3 + 1^2 - 8*1 - 7 = -13 < 0

f(2) = 2^3 + 2^2 - 8*2 - 7 = 8 + 4 - 16 - 7 = -11 < 0

f(3) = 3^3 + 3^2 - 8*3 - 7 = 27 + 9 - 24 - 7 = 5 > 0

x3 ∈ (2; 3)

Таким образом, мы нашли промежутки для трёх корней.

Дальше уточняем:

1) Уточняем x1

f(-3) = -1 < 0; f(-2) = 5 > 0.

Значение -1 ближе к 0, чем 5. Значит, x1 ближе к -3, чем к -2.

f(-2,9) = (-2,9)^3 + (-2,9)^2 - 8(-2,9) - 7 = 0,221 > 0

Я не буду расписывать, посчитал на калькуляторе.

x1 ∈ (-3; -2,9)

2) Уточняем x2

f(-1) = 1 > 0; f(0) = -7 < 0

x2 ближе к -1, чем к 0.

f(-0,9) = (-0,9)^3 + (-0,9)^2 - 8(-0,9) - 7 = 0,281 > 0

f(-0,8) = (-0,8)^3 + (-0,8)^2 - 8(-0,8) - 7 = -0,472 < 0

x2 ∈ (-0,9; -0,8)

3) Уточняем x3

f(2) = -11 < 0; f(3) = 5 > 0

x3 ближе к 3, чем к 2.

f(2,7) = (2,7)^3 + (2,7)^2 - 8*2,7 - 7 = -1,627 < 0

f(2,8) = (2,8)^3 + (2,8)^2 - 8*2,8 - 7 = 0,392 > 0

x3 ∈ (2,7; 2,8)

Подобрали корни с точностью 0,1. Можно и еще уточнить.

Окончательно у меня получилось с точностью 0,001:

x1 ≈ -2,919; f(-2,919) ≈ 0,001

x2 ≈ -0,862; f(-0,862) ≈ -0,001

x3 ≈ 2,781; f(2,781) ≈ -0,006

Вольфрам Альфа показывает такие корни:

x1 ≈ -2,9191; x2 ≈ -0,86219; x3 ≈ 2,7813