Question

4¹⁰⁴ найти остаток при делении на 11​

Answer 1

Два числа называются равными по модулю N, если они дают при делении на N одинаковые остатки.

Если к числу прибавить (или вычесть из него) некоторое количество раз число N, то получится число, равное с исходным по модулю N:

$A\equiv A+kN\pmod N, \ k\in\mathbb{Z}$

Преобразуем заданное число:

$4^{104}=4^4\cdot4^{100}=16^2\cdot(2^2)^{100}=16^2\cdot2^{200}=16^2\cdot(2^5)^{40}=16^2\cdot32^{40}$

Выполним сравнение по модулю:

$16^2\cdot32^{40}\equiv(16-11)^2\cdot(32-3\cdot11)^{40}=$

$=5^2\cdot(-1)^{40}=25\equiv25-2\cdot11=3\pmod{11}$

Число 3 при делении на 11 дает остаток 3, значит и число $4^{104}$ при делении на 11 дает остаток 3.

Ответ: 3