Question

Используя метод математической индукции, докажите:
p+(p+1)+(p+2)+...+(p+n)=(2p+n)(n+1)\2 при натуральном n

Answer 1

$p+(p+1)+(p+2)+\ldots+(p+n)=\dfrac{(2p+n)(n+1)}{2}$

1. Проверим справедливость утверждения при $n=1$:

$p+(p+1)=\dfrac{(2p+1)\cdot(1+1)}{2}$

$2p+1=2p+1$

Верно.

2. Предположим, что при $n=k$ утверждение справедливо:

$p+(p+1)+(p+2)+\ldots+(p+k)=\dfrac{(2p+k)(k+1)}{2}$

3. Докажем, что и при $n=k+1$ утверждение будет верным:

$p+(p+1)+(p+2)+\ldots+(p+k)+(p+k+1)=\dfrac{(2p+k+1)(k+1+1)}{2}$

Воспользуемся равенством, полученным на втором шаге:

$\dfrac{(2p+k)(k+1)}{2}+(p+k+1)=\dfrac{(2p+k+1)(k+1+1)}{2}$

$\dfrac{(2p+k)(k+1)}{2}+(p+k+1)=\dfrac{(2p+k+1)(k+2)}{2}$

$(2p+k)(k+1)+2(p+k+1)=(2p+k+1)(k+2)$

$(2p+k)(k+1)+2p+2k+2=(2p+k+1)(k+2)$

$(2p+k)(k+1)+(2p+k)+(k+2)=(2p+k+1)(k+2)$

$(2p+k)(k+2)+(k+2)=(2p+k+1)(k+2)$

$(2p+k+1)(k+2)=(2p+k+1)(k+2)$

Утверждение доказано.