Question

Доведіть, що коли радіус кола, вписаного в правильний восьмикутник, дорівнює r ,
то радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює

2r/✓2+✓2
​

Answer 1

Ответ:    R = 2r/√( 2 + √2 ) .

Объяснение:  

ABCDEFGH - правильний 8- кутник ; у  ΔАОН  ОМ ⊥АН ; ОМ = r ;

OA = OH = R - ?

Як відомо центральний кут  ∠АОН = 360° : 8 = 45° , а ∠АОМ = 45°/2 .

 Із  прямокутного ΔАОМ    ОА = R = OM/cos∠АОМ = r/cos( 45°/2 ) .

Знайдемо явний вигляд виразу cos( 45°/2 )  за формулою для  cosα/2 :

 cos( 45°/2 ) = √[ ( 1 + cos45°)/2 ] = √[ ( 1 + √2/2 )/2 ] = √[ ( 2 + √2 )/4 ] =

= √( 2 + √2 )/2 . Підставимо значення у вираз для  R :

       OA = R = r /[ √( 2 + √2 )/2 ] = 2r/√( 2 + √2 ) .