Question

Дано точки А (2; 4; -1), В (-1; 1; 3) і С (5; 1; 2). Знайдіть:
1) координати векторів АВ, ВС;
2) довжини(модулі) АВ, ВС;
3) АВ+ВС, АВ-ВС;
4) 2АВ-½ВС;
5) скалярний добуток векторів АВ і ВС;
6) косинус кута між векторами АВ і ВС
7) визначити вид трикутника АВС

Answer 1

Объяснение:

Формула для нахождения стороны.

|AB| = √(xb-xa)^2 + (yb-ya)^2 + (zb-za)^2

*Примечание. в данной формуле все под один корнем.

1) Найдем координаты векторов АВ , ВС

AB = { (-1) - 2 ; 1 - 4 ; 3 + 1 } = { -3 ; -3 ; 4 }

BC = { 5 + 1 ; 1 - 1 ; 2 - 3 } = { 6 ; 0 ; -1 }

*Примечание , AB и BC - вектора

2) |AB| = √((-1) - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (3 + 1)^2 = √(9 + 9 + 16)= √34

|BC| = √(5+1)^2 + (1-1)^2 + (2-3)^2 = √(36 + 0 + 1) = √37

3) AB + BC = {(-3) + 6 ; (-3) + 0 ; 4 - 1 } = { 3 ; -3 ; 3 }

AC = { 3 ; -3 ; 3 }

|AC| = √(3^2 + (-3)^2 + 3^2) = √27

*Все под корнем одним.

AB - BC = { (-3) - 6 ; (-3) - 0 ; 4 + 1 } = { -9 ; -3 ; 5 }

AC = { -9 ; -3 ; 5 }

|AC| = √((-9)^2 + (-3)^2 + 5^2) = √115

4) 2AB - 1/2BC

Обозначу получившийся вектор как m

m { 2 × (-3) - 1/2 × 6 ; 2 × (-3) - 1/2 × 0 ; 2 × 4 - 1/2 × (-1) } = { -9 ; -6 ; 8.5 }

5) Формула скалярного произволения.

a × b = xa × xb + ya × yb + za × zb

AB × BC = (-3) × 6 + (-3) × 0 + 4 × (-1) = (-18) + 0 - 4 = -22

6) Формула косинуса угла.

$\cos( \alpha ) = \frac{xa \times xb + ya \times yb + za \times zb}{ \sqrt{ {xa}^{2} + {ya}^{2} + {za}^{2} } \times \sqrt{ {xb}^{2} + {yb}^{2} + {zb}^{2} } }$

$\cos( \alpha ) = \frac{( - 3) \times 6 + ( - 3) \times 0 + 4 \times ( - 1)}{ \sqrt{ {( - 3)}^{2} + {( - 3)}^{2} + {4}^{2} } \times \sqrt{ {6}^{2} + {0}^{2} + ( { - 1)}^{2} } }$

$= \frac{ - 22}{ \sqrt{34} \times \sqrt{37} } = - \frac{22}{35.5} = - 0.6$

Значит косинус когда = -0.6 (Данное значение приблизительно )

7) Чтобы определить вид треугольника необходимо найти длины всех сторон.

Ранее мы уже нашли длины AB и BC

AB = √34

BC = √37

Необходимо найти сторону CA

|CA| = √(2-5)^2 + (4-1)^2 + ((-1) - 2)^2 = √27

Все длины сторон разные , следовательно треугольник - разносторонний.

Косинус угла отрицателен , следовательно угол тупой.

треугольник тупо угольный