Question

Помогите пожалуйста найти общее решение и частное решение линейного однородного

уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,

удовлетворяющее заданным начальным условиям:

а) y"+9y'=0, y(0)=1; y'(0)=-3

б) y"−10y'+25y=0, y(0)=0; y'(0)=1

Answer 1

Ответ:

Общие и частные решения линейных однородных

уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

а)

• y = C₁ + C₂e⁻⁹ˣ - общее решение

• y = (2/3) + (1/3)e⁻⁹ˣ - частное решение

б)

• y = C₁e⁵ˣ + C₂xe⁵ˣ - общее решение

• y = xe⁵ˣ - частное решение

Объяснение:

Данные уравнения являются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами

а)

y'' + 9y' = 0; y(0) = 1; y'(0) = -3

Составим характеристическое уравнение:

λ² + 9λ = 0

λ(λ + 9) = 0

λ₁ = 0

λ₂ = -9

• y = C₁ + C₂e⁻⁹ˣ - общее решение

y' = -9C₂e⁻⁹ˣ

Частное решение:

y' = -9C₂e⁻⁹ˣ и по условию y'(0) = -3

-3 = -9C₂e⁰ | * (-1)

9C₂ = 3|:9

C₂ = 1/3

--------------------------------------------------------------

y = C₁ + (1/3)e⁻⁹ˣ и по условию y(0) = 1

1 = C₁ + (1/3)e⁰

1 = C₁ + (1/3)

C₁ = 1 - (1/3) = 2/3

• Частное решение:  y = (2/3) + (1/3)e⁻⁹ˣ

б)

y" − 10y' + 25y = 0; y(0) = 0; y'(0) = 1

Составим характеристическое уравнение:

λ² - 5λ + 25 = 0

(λ - 5)² = 0 ⇒ λ = 5

Так как D = 0 или иными словами характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня, то есть λ₁ = λ₂ = 5.

• y = C₁e⁵ˣ + C₂xe⁵ˣ - общее решение

Частное решение:

y = C₁e⁵ˣ + C₂xe⁵ˣ и по условию y(0) = 0

0 = C₁e⁰ + C₂ · 0 · e⁰

C₁ = 0

------------------------------------------------------------------------------------

y' = 5C₁e⁵ˣ + 5C₂xe⁵ˣ + C₂e⁵ˣ и по условию y'(0) = 1

1 = 5C₁e⁰ + 5C₂ · 0 · e⁰ + C₂e⁰

1 = 5C₁ + C₂

1 = 5 · 0 + C₂

C₂ = 1

• Частное решение: y = xe⁵ˣ

#SPJ1