Дано куб АВСDА1В1С1D1. Обчислити величину кута між векторами АВ1 і А1D за допомогою векторного методу. (Під час розв`язання скористайтесь формулою знаходження кута між векторами, прямі АВ1 і А1D позначте відповідними векторами)
Ответы
Дано куб АВСDА1В1С1D1. Обчислити величину кута між векторами АВ1 та А1D за допомогою векторного методу (позначте прямі АВ1 та А1D відповідними векторами). Підказка: скористайтесь формулою знаходження кута між векторами. "
Пояснення:
1 спосіб векторний
Нехай ребро куба. Введемо прямокутну систему координат, як показано на кресленні. Координати точок
А(а ;0; 0) , В(0;0;а) , , =√((-a)²+0²+a²)=a√2 ;
А(а ;0; a) , D(a;a;0) , , =√(0²+a²+(-a)²)=a√2 .
Скалярний твір можна вирахувати двома способами
-за визначенням ;
-використовуючи координати.
Отримуємо ,
2a²* = - а² ,
⇒ кут між векторами дорівнює 120 °.
Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається величина найменшого з плоских кутів, утворених цими прямими ⇒ кут між прямими АВ₁ і А₁D дорівнює 60° .
2 спосіб по т. косінусів.
Добудуємо куб (власне до 2-го поверху).
Перенесемо вектор як показано на кресленні, для поєднання початків даних векторів. Знайдемо кут між векторами з ΔА₁DB₂ по т. косінусів. Знайдемо довжини відрізків
- А₁В₂=А₁D, як діагоналі квадрата, по т. Піфагора √(а²+а²)=а√2.
- DB₂, як діагональ прямокутного паралелепіпеда з вимірами а, а,2а; DB₂ =√(а²+а²+4а²)=а√6.
DB₂²= А₁В₂² + А₁D²-2*А₁В₂*А₁D* cos( А₁В₂;А₁D),
6а²=2а²+2а²-2*а√2*а√2* cos( А₁В₂;А₁D),
2*а√2*а√2* cos( А₁В₂;А₁D)=-2а²,
cos( А₁В₂;А₁D)=-1/2 ⇒ кут між відрізками А₁В₂;А₁D дорівнює 120 °. Тоді кут між прямими АВ₁ і А₁D дорівнює 60 ° (180 ° -120 ° = 60 °).