Question

Найдите все целые числа n такие, что n² + 6n + 33 является квадратом целого числа.ПЖПЖПЖ помогитеее

Answer 1

требуется, чтобы n² + 6n + 33 был квадратом целого числа. пусть это будет х²

выделим квадрат суммы двух выражений  из n² + 6n + 33 .

n² + 6n + 33 = (n² + 2n*3+3²)-3² + 33 =(n+3)²-9+33=х²

(n+3)²-х²=-24

разложим левую часть на множители.

(n+3-х)*(n+3+х)=-24

пусть n+3=у, тогда

(у-х)(у+х)=-24

т.к. произведение -24- отрицательно, то  (у-х)(у+х) разных знаков.

т.к. по условию n- целое, то рассмотрим следующие случаи:

(у-х)=24; (у+х) =-1⇒2у=23∅

(у-х)=12; (у+х) =-2⇒2у=10; у=5; х=-7;  значит, n=у-3=5-3=2

(у-х)=8; (у+х) =-3⇒2у=5∅

(у-х)=6; (у+х) =-4⇒2у=2; у=1;  значит, n=у-3=1-3=-2

(у-х)=4; (у+х) =-6⇒2у=-2; у=-1;  значит, n=-1-3=-4

(у-х)=3; (у+х) =-8⇒2у=-5;∅

(у-х)=2; (у+х) =-12⇒2у=-10; у=-5;  значит, n=у-3=-5-3=-8

(у-х)=1; (у+х) =-24; 2у=-23∅

меняя знаки у множителей  (у-х) и (у+х) , получим новые четыре числа. сумму двух у, которая является нечетной, уже не рассматриваем.

(у-х)=-12; (у+х) =2⇒2у=-10; у=-5;  n=у-3=-5-3=-8- уже была,

(у-х)=-6; (у+х) =4⇒2у=-2; у=-1;  значит, n=-1-3=-4

(у-х)=-4; (у+х) =6⇒2у=2; у=1;  значит, n=1-3=-2

(у-х)=-2; (у+х) =12⇒2у=10; у=5;  значит, n=у-3=5-3=2

получили ответы -8; ±2; -4;

Ответ  -8;-4; -2; 2;