Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/сек, через 4 сек скорость ее 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/сек? Какой путь может пройти лодка до остановки.
решение расписать
Ответы
Ответ:
14.8м
Объяснение:
Пусть v(t) - скорость лодки в момент времени t. Тогда, согласно второму закону Ньютона:
mv′=F
где m - масса лодки, F - сила сопротивления воды.
Так как скорость лодки пропорциональна сопротивлению воды, то F=kv. Получаем уравнение:
v′=kmv=k1v.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
v=Cek1t
Подставив начальные условия v(0)=1,5 и v(4)=1, получим:
C=1,5; k1=14ln(23).
Получаем, скорость движения лодки:
v=1,5e0,25ln(2/3)t
Подставляя v=1см/сек=0,01м/сек, получим время:
0,01=1,5e0,25ln(2/3)t
0,25ln(2/3)t=ln(0,01/1,5)
t=4ln(0,01/1,5)ln(2/3)≈49.43
Таким образом, скорость уменьшится до 1 см/сек через 49.43 сек.
Так как скорость, это производная от пути, то есть s′(t)=v(t). Найдем s(t):
s=∫1,5e0,25ln(2/3)t=1,50,25ln(2/3)e0,25ln(2/3)t+C
Так как s(0)=0, то получаем:
C=−1,50,25ln(2/3) ⇒ s=1,50,25ln(2/3)(e0,25ln(2/3)t−1)
Так как v(t)=0 при t→∞, то путь который лодка пройдет до остановки равен:
limt→∞s(t)=−1,50,25ln(2/3)≈14.8
Таким образом, путь который лодка пройдет до остановки: 14.8 м.