Question

Помогите решить неравенства!!

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ 1999x^2-2x-1997 < 0\\\\1999x^2-2x-1997=0$

Разложим левую часть равенства на множители.

$1999x^2-1999x+1997x-1997=0\\\\1999x\, (x-1)+1997\, (x-1)=0\\\\(x-1)(1999x+1997)=0\\\\a)\ \ x-1=0\ \ \ \to \ \ \ x_1=1\\\\b)\ \ 1999x+1997=0\ \ \ \to \ \ \ x_2=-\dfrac{1997}{1999}\\\\c)\ \ \Big(x-1\Big)\Big(x+\dfrac{1997}{1999}\Big) < 0\ \ ,\ \ \ znaki:\ \ +++-(x_2)---(x_1)+++\\\\Otvet:\ \ x\in \Big(-\dfrac{1997}{1999}\ ;\ 1\ \Big)\ .$

$2)\ \ x^4+16x^2-17 < 0\\\\x^4+16x^2-17=0\ \ ,$  

Биквадратное уравнение. Решаем с помощью замены.

$t=x^2\geq 0\ ,\ \ t^2+16t-17=0\ \ ,\ \ \ t_1=-17\ ,\ t_2=1\ \ (teorema\ Vieta)\\\\t^2+16t-17 < 0\ \ \ \to \ \ \ (t+17)(t-1) < 0\\\\znaki:\ \ \ +++(-17)---(1)+++\ \ ,\ \ \ -17 < t < 1\\\\t\geq 0\ \ \ \to \ \ \ \ 0\leq t < 1\\\\x^2 < 1\ \ ,\ \ x^2-1 < 0\ \ ,\ \ (x-1)(x+1) < 0\ \ ,\\\\znaki:\ \ \ +++(-1)---(1)+++\\\\Otvet:\ \ x\in (-1\ ;\ 1\ )\ .$

3)  Решаем аналогично 2 примеру .

$x^4+6x^2-7 > 0\\\\Zamena:\ \ t=x^2\geq 0\ \ ,\ \ t^2+6t-7 > 0\ \ ,\\\\t^2+6t-7=0\ \ ,\ \ t_1=-7\ ,\ t_2=1\ \ (teorema\ Vieta)\\\\(t+7)(t-1) > 0\ \ ,\ \ znaki:\ \ +++(-7)---(1)+++\\\\t < -7\ \ ne\ podxodit\ \ \ \ \ ili\ \ \ t > 1\\\\x^2 > 1\ \ ,\ \ x^2-1 > 0\ \ ,\ \ (x-1)(x+1) > 0\ \ ,\\\\znaki:\ \ \ ++(-1)---(1)+++\\\\Otvet:\ \ x\in (-\infty ;-1\, )\cup (\ 1\ ;+\infty \, )\ .$  

4)  Определим знак коэффициента .

$\Big((\sqrt8+4)-(\sqrt4+\sqrt{36})\Big)\cdot x > 0\\\\\Big(\sqrt8+4-(2+6)\, \Big)\cdot x > 0\\\\(\sqrt8-4)\cdot x > 0\\\\(\underbrace{2\sqrt2-4}_{ < 0})\cdot x > 0$

Разделим неравенство на отрицательное число  $(2\sqrt2-4)$  , тогда знак неравенства изменится на противоположный.

$x < 0$

$Otvet:\ \ x\in (-\infty \, ;\, 0\ )\ .$