Question

В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С – прямой) произведена высота СН. Радиусы кругов, вписанных в треугольники АСН и ВСН, равны 8 и 15 см. Найдите радиус окружности вписанный в треугольник АВС

Answer 1

Ответ:

$17$

Объяснение:

$\angle BAC = 90^\circ-\angle ACH=\angle BCH$ (синие углоки)

$\triangle HAC \sim \triangle BCH \sim \triangle ABC$ (по двум углам - один прямой, другой синий)

Отсюда следует пропорциональность сторон треугольников и радиусо вписаных окружностей.

Обозначим за $R$ радиус окружности вписанную в $\triangle ABC$, и за $r_1$ и $r_2$ радиусы окружностей, списаных в треугольники $ACH$ и $BCH$ соответсвенно.

Тогда из их подобия следует, что отношение радиуса $r$ вписаной окружности к гипотенузе треугольника (маленького или большого) постоянно и равно $k$.

$r_1=AC\cdot k, ~~ r_2=BC\cdot k,~~R=AB\cdot k$

Запишем теорему Пифагора для $\triangle ABC$

$AC^2+BC^2=AB^2$

Умножим все на $k^2$

$AC^2+BC^2=AB^2~~\Big|~\cdot k^2\\\\AC^2\cdot k^2 + BC^2\cdot k^2=AB^2\cdot k^2\\\\(AC\cdot k)^2 + (BC\cdot k)^2=(AB\cdot k)^2\\\\r_1^2+r_2^2=R^2$

Выразим $R$ (искомый радиус)

$\displaystyle R = \sqrt{r_1^2+r_2^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=\boxed{17}$