Question

Задание приложено...

Answer 1

т.к. наивысшая степень числителя третья, для этого надо увидеть, что получается после перемножения трех скобок, высшая степень знаменателя тоже третья, поэтому смотрим на коэффициенты третьих степеней и в числителе и в знаменателе он равен 1, а т.к. n→∞, то ответом будет отношение коэффициентов, т.е. 1

Ответ 1

2) поступаем аналогично, только теперь наивысшая степень числителя и знаменателя вторая, а отношение коэффициентов при этих степенях 2*3/2=3

Ответ 3

Answer 2

Ответ:

Пределы:

1) $\boxed { \boldsymbol { \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)(n + 2)}{(n + 3)(n + 4)(n + 5)} = 1 } }$

2) $\boxed { \boldsymbol { \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(2n + 1)(3n - 1)}{2n^{2} - 3} = 3 } }$

Примечание:

$\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{b}{a^{n}} = 0; a > 1 } }$

Теоремы: (при условии, что $a_{n},b_{n}$ - сходящиеся последовательности)

Предел суммы:

$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n$

Предел произведения:

$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$

Следствие из предела произведения:

$\lim_{n \to \infty} (k \cdot a_n) = k \lim_{n \to \infty} a_n$, где $k \in \mathbb R$

Предел частного:

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = \dfrac{\lim_{n \to \infty} a_n }{\lim_{n \to \infty} b_n }$ при условии, что $b_{n} \neq 0; \lim_{n \to \infty} b_{n} \neq 0$

Объяснение:

34.6

1)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)(n + 2)}{(n + 3)(n + 4)(n + 5)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{(n + 3)(n + 4)} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 2)}{(n + 5)} = 1 \cdot 1 = 1$

а)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{(n + 3)(n + 4)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 4n + 3n + 12} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 7n + 12} =$

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{n^{2} + n}{n^{2}} }{\dfrac{n^{2} + 7n + 12}{n^{2}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \dfrac{1}{n} }{1 + \dfrac{7}{n} + \dfrac{12}{n^{2}} } = \frac{\lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \dfrac{1}{n} \bigg) }{\lim_{n \to \infty} \bigg(1 + \dfrac{7}{n} + \dfrac{12}{n^{2}} \bigg) } =$

$\displaystyle = \frac{ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} }{ \lim_{n \to \infty}1 + \lim_{n \to \infty} \dfrac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \dfrac{12}{n^{2}} } = \frac{1 + 0}{1 + 0 + 0} = 1$

б)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 2)}{(n + 5)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{n + 2}{n} }{\dfrac{n + 5}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \dfrac{2}{n} }{1 + \dfrac{5}{n}} = \frac{ \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \dfrac{2}{n} \bigg) }{ \lim_{n \to \infty} \bigg(1 + \dfrac{5}{n} \bigg) } =$

$\displaystyle \frac{ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n} }{\lim_{n \to \infty}1 + \lim_{n \to \infty} \dfrac{5}{n}} = \frac{1 + 0 }{1 + 0 } = \frac{1}{1} = 1$

2)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(2n + 1)(3n - 1)}{2n^{2} - 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2} - 2n + 3n - 1}{2n^{2} - 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2} + n - 1}{2n^{2} - 3}=$

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{6n^{2} + n - 1}{n^{2}} }{\dfrac{2n^{2} - 3}{n^{2}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n^{2}} }{2 - \dfrac{3}{n^{2}} } = \frac{ \lim_{n \to \infty}\bigg(6 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n^{2}} \bigg) }{ \lim_{n \to \infty}\bigg(2 - \dfrac{3}{n^{2}} \bigg)} =$

$\displaystyle = \frac{ \lim_{n \to \infty} 6 + \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} - \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2}} }{\lim_{n \to \infty} 2 - \lim_{n \to \infty} \dfrac{3}{n^{2}} } =\frac{6 + 0 - 0}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3$