Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{D} y \, dxdy = \frac{11}{12} } }$

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область  снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Объяснение:

Смотрите рис(2)

Область $D:$

$x = 0;$

$y = \sqrt{x} ;$

$x + y = 2;y = 2 - x$

Найдем абсциссу пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = 2- x$

$\sqrt{x} = 2 - x;$  ОДЗ: $\displaystyle \left \{ {{x \geq 0} \atop {2 - x\geq 0}} \right \displaystyle \left \{ {{x \geq 0} \atop {2 \geq x}} \right \Longrightarrow \boxed{ \boldsymbol{ x \in [0;2] } }$

$(\sqrt{x})^{2} = (2 - x)^{2}$

$x = 4 - 4x +x^{2}$

$x^{2} - 5x + 4 = 0$

$D = (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^{2}$

$x_{1} = \dfrac{5 + 3}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ - не подходит по ОДЗ

$\boxed{x_{2} = \dfrac{5 - 3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1}$

Границы интегрирования: от 0 до 1

$\displaystyle \iint_{D} y \, dxdy = \int\limits^{1}_{0} \, dx \int\limits^{2 - x}_{\sqrt{x} } {y} \, dy = \int\limits^{1}_{0} \, dx \bigg (\frac{y^{2}}{2} \bigg |_{\sqrt{x} }^{2 - x} \bigg) =$

$\displaystyle = \int\limits^{1}_{0} {\bigg ( \bigg ( \frac{(2 - x)^{2}}{2} \bigg) - \bigg ( \frac{(\sqrt{x})^{2} }{2} \bigg) \bigg)} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{1}_{0} {\bigg ( 4 - 4x + x^{2} - x \bigg)} \, dx =$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int\limits^{1}_{0} {\bigg ( 4 - 5x + x^{2} \bigg)} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \bigg (4x - \frac{5x^{2} }{2} + \frac{x^{3}}{3} \bigg)\bigg|_0^1 =$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \bigg( 4 \cdot 0 - \frac{5\cdot 0^{2} }{2} + \frac{0^{3}}{3} - \bigg (4 \cdot 1 - \frac{5 \cdot 1^{2} }{2} + \frac{1^{3}}{3} \bigg)\bigg) = \frac{1}{2} \bigg( 4 - \frac{5}{2} + \frac{1}{3} \bigg) =$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \bigg( \frac{24 - 15+ 2}{6} \bigg) =\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{12}$