Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{D} {\bigg(x^{3} + y^{3} \bigg)} \, dxdy = 150,4 } }$

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область $G$ снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Объяснение:

Смотрите рис(2)

Область $D:$

$x - 2y = 0; y = 0,5x$

$x - y = 0; y = x$

$x = 4;$

Найдем абсциссу пересечения графиков $y = x$ и $y = 0,5x$

$x = 0,5x$

$0,5x = 0 \Longrightarrow x = 0$

Границы интегрирования: от 0 до 4

$\displaystyle \iint_{D} {\bigg(x^{3} + y^{3} \bigg)} \, dxdy = \int\limits^{4}_{0} \, dx \int\limits^{x}_{0,5x} {\bigg(x^{3} + y^{3} \bigg)} \, dy = \int\limits^{4}_{0} \, dx \bigg ( \bigg ( yx^{3} + \dfrac{y^{4}}{4} \bigg)\bigg |_{0,5x}^{x} \bigg) =$

$\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \, dx \bigg ( \bigg ( yx^{3} + \dfrac{y^{4}}{4} \bigg)\bigg |_{0,5x}^{x} \bigg) = \int\limits^{4}_{0} \bigg ( \bigg (x \cdot x^{3} + \frac{x^{4}}{4} \bigg ) -\bigg(0,5x \cdot x^{3} + \frac{(0,5x)^{4}}{4} \bigg) \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg ( x^{4} + 0,25x^{4} - 0,5 x^{4} - 0,015625x^{4} \bigg) \, dx = \int\limits^{4}_{0} 0,734375 x^{4} \, dx =$

$\displaystyle = 0,734375 \int\limits^{4}_{0} x^{4} \, dx = 0,734375 \cdot \frac{x^{5}}{5} \bigg|_0^4 = 0,146875 \bigg (4^{5} - 0^{5} \bigg ) = 0,146875 \cdot 1024=$

$= 150,4$