Question

ускорение локомотива, начальная скорость которого v0 пропорциональна силе тяги F и обратно пропорциональна массе поезда m. сила тяги локомотива изменяется по законуF(t)=b-kv(t), где b,k -постоянные величины, v(t) - скорость локоматива в момент времени t. определить зависимость силы тяги от времени​

Answer 1

Запишем по условию задачи дифференциальное уравнение

$\displaystyle\\\frac{dv}{dt} = \frac{1}{m}(b-kv)\\\\\frac{-kdv}{b-kv} = \frac{-kdt}{m}\\\ln(b-kv) = -kt/m + C_1\\b - kv = Ce^{-kt/m}$

Постоянную C найдем из начальных условий:

$b-kv_0 = Ce^0 = C$

И найдем саму скорость

$v = [b-(b-kv_0)e^{-kt/m}]/k$

И наконец подставим найденную скорость в выражение для силы

$F = b-kv =b-[b-(b-kv_0)e^{-kt/m}] = (b-kv_0)e^{-kt/m}$