Question

докажите что n^3 - 31n делится на 6 без остатка​

Answer 1

Докажем, что $n^3 - 31n$ делится на 6 методом математической индукции.

1. Проверим справедливость утверждения при $n=1$:

$1^3-31\cdot1=-30\,\vdots\, 6$

Верно.

2. Предположим, что при $n=k$ утверждение верно:

$(k^3 - 31k)\,\vdots\, 6$

3. Докажем, что и при $n=k+1$ утверждение также будет верным:

$(k+1)^3 - 31(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-31k-31=$$=(k^3-31k)+3k^2+3k+1-31=(k^3-31k)+3k^2+3k-30=$

$=(k^3-31k)+3(k^2+k-10)=(k^3-31k)+3(k(k+1)-10)$

Слагаемое $(k^3-31k)$ делится на 6 по предположению, сделанному на втором шаге.

Слагаемое $3(k(k+1)-10)$ содержит множитель 3, поэтому оно делится на 3. Выражение $k(k+1)$ представляет собой произведение разных по четности чисел, поэтому оно четное. Тогда, разность $(k(k+1)-10)$ также четная. Значит, $3(k(k+1)-10)$ делится на 2.

Поскольку рассматриваемое выражение делится на 3 и на 2, то оно делится на 6. Доказано.