Question

решить диференциальное уравнение y''y^3=1

y(1/2)=1 y'(1/2)=1

Answer 1

Ответ:

$y(x)=\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}$

Объяснение:

$y''(x)\cdot y(x)^3=1$

$\displaystyle \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}\cdot y(x)^3=1\\\\\dfrac{d\,y(x)}{dx}\cdot \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}=\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot y(x)^3}\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{dx}\cdot \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}\,dx=\int\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot y(x)^3}\,dx\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{dx}\cdot \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}\,dx=\int\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot y(x)^3}\,dx\\\\\dfrac{1}{2}\cdot\Bigg(\dfrac{d\,y(x)}{dx}\Bigg)^2=c_1-\dfrac{1}{2\,y(x)^2}\\\\\\\dfrac{d\,y(x)}{dx}\Bigg\,=\pm\sqrt{c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}$

Нашли производную $y'(x)$, подставим и найдем константу $c_1$

$1=\sqrt{c_1-\dfrac{1}{1^2}} ~\Leftrightarrow~c_1=2$

Продолжаем решать

$\displaystyle \dfrac{d\,y(x)}{dx}\Bigg\,=\pm\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}\\\\\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}}\Bigg\,=\pm1\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}}\Bigg\,dx=\int\pm dx\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}}\Bigg\,=\pm x+c_2\\\\\\\dfrac{\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}\cdot y(x)}{2c_1}=\pm x+c_2$

Можем выразить функцию

$y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{c_1^2x^2+2c_2c_1^2x+c_2^2c_1^2+1}{c_1}}$

Найдем $c_2$

$y\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=1=\sqrt{\dfrac{4\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2+8c_2+4c_2^2+1}{2}}\\\\1+4c_2+2c_2^2=1\\c_2^2+2c_2+\dfrac{1}{4}=0\\\\ c_2=-2,~c_2=0$

Итого получили частные решения

$y(x)=\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}\\\\y(x)=\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{2}}=\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}$

Решения абсолютно одинаковые, запишем ответ

$\boxed{\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}}$