Question

найти интегралы уравнений​

Answer 1

Ответ:

$1) ~~\displaystyle \dfrac12\ln(x^2+2x+10)+\dfrac83\mathrm{arctg}~\Big(\dfrac{x+1}{3}\Big)-\ln(x+1)+C$

$2)~~\displaystyle \ln(x^2+2x+2)+\mathrm{arctg}(x+1)+\dfrac12x^2-2x+C$

Пошаговое объяснение:

$1)~~\displaystyle \int \dfrac{8x-1}{(x+1)(x^2+2x+10)}~dx$

Разложим на две дроби

$=~\displaystyle \int \dfrac{x+9}{x^2+2x+10}-\dfrac{1}{x+1}~dx$

Представим первую дробь как сумму двух других

$=~\displaystyle \int \dfrac{2x+2}{2\big(x^2+2x+10)}+\dfrac{8}{x^2+2x+10}-\dfrac{1}{x+1}~dx$

Распишем интеграл суммы как сумму интегралов, вынесем множители

$=~\displaystyle \dfrac12\int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+10}~dx+8\int\dfrac{1}{x^2+2x+10}~dx-\int\dfrac{1}{x+1}~dx$

В первом интеграле заметим, что $2x+2=(x^2+2x+10)'$, сделаем замену $u=x^2+2x+10,~du=(2x+2)dx$

$=~\displaystyle \dfrac12\int \dfrac1u~du+8\int\dfrac{1}{x^2+2x+10}~dx-\int\dfrac{1}{x+1}~dx$

$=~\displaystyle \dfrac12\ln(x^2+2x+10)+8\int\dfrac{1}{x^2+2x+10}~dx-\int\dfrac{1}{x+1}~dx$

Во втором интеграле выделим полный квадрат

$=~\displaystyle \dfrac12\ln(x^2+2x+10)+8\int\dfrac{1}{(x+1)^2+9}~dx-\int\dfrac{1}{x+1}~dx$

$=~\displaystyle \dfrac12\ln(x^2+2x+10)+\dfrac83\mathrm{arctg}~\Big(\dfrac{x+1}{3}\Big)-\int\dfrac{1}{x+1}~dx$

Третий интеграл - логарифм

$=~\displaystyle \dfrac12\ln(x^2+2x+10)+\dfrac83\mathrm{arctg}~\Big(\dfrac{x+1}{3}\Big)-\ln(x+1)+C$

$2)~~\displaystyle\int\dfrac{x^3-1}{x^2+2x+2}~dx$

Выделим целую часть

$=~\displaystyle \int\dfrac{2x+3}{x^2+2x+2}+x-2~dx$

Проинтегрируем то, что знаем

$=~\displaystyle \int\dfrac{2x+3}{x^2+2x+2}~dx+\dfrac12x^2-2x$

Разделим дробь на две дроби

$=~\displaystyle \int\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}~dx+\int\dfrac{1}{x^2+2x+2}~dx+\dfrac12x^2-2x$

В первом интеграле заметим, что $2x+2=(x^2+2x+2)'$, сделаем замену $u=x^2+2x+2,~du=(2x+2)dx$

$=~\displaystyle \int\dfrac{1}{u}~du+\int\dfrac{1}{x^2+2x+2}~dx+\dfrac12x^2-2x$

$=~\displaystyle \ln(x^2+2x+2)+\int\dfrac{1}{x^2+2x+2}~dx+\dfrac12x^2-2x$

Во втором интеграле выделим полный квадрат

$=~\displaystyle \ln(x^2+2x+2)+\int\dfrac{1}{(x+1)^2+1}~dx+\dfrac12x^2-2x$

$=~\displaystyle \ln(x^2+2x+2)+\mathrm{arctg}(x+1)+\dfrac12x^2-2x+C$