Question

1)вычислите интеграл от 2 до 1 (8x^3-6x-1) dx
2)вычислите предварительно сделав рисунок площадь фигуры ограниченной линиями
а)y=x^2-2x+3; x=1; x=-1; y=0
б)y=1/2*x^2+1; y=5,5
желательно ещё бы все действия расписать как это сделать

Answer 1

Ответ:

1. 20
2. a) $\frac{20}{3}$ b) 18

Пошаговое объяснение:

1.

$\displaystyle \int\limits^2_1 {8x^3-6x-1} \, dx =\int\limits^2_1 {8x^3}\,dx -\int\limits^2_1{6x} \, dx -\int\limits^2_1\,dx$

по формуле

$\displaystyle \int {x^n} \, dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

вычислим дальше

$\displaystyle = 8\cdot\dfrac{x^{3+1}}{3+1}\Bigg|\limits^2_1~-~6\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\Bigg|\limits^2_1~-~x}\Bigg|\limits^2_1~~=~~2x^4\Bigg|\limits^2_1~-~3x^2\Bigg|\limits^2_1~-~x}\Bigg|\limits^2_1~~=\\\\=~2\cdot(2^4-1^4)-3\cdot(2^2-1^2)-(2-1)=30-9-1=20$

2. a)

Фигура ограничена линиями $y=x^2-2x+3,~ x=1,~ x=-1,~ y=0$

Обратим внимания на границы $x=1,~ x=-1,~ y=0$. Это две вертикальные прямые (область между ними от -1 до 1 по x) и горизонтальная прямая - ось абсцисс ($y=0$).

Нахождение площади свелось к нахождению интеграла

$\displaystyle \int\limits^1_{-1} {x^2-2x+3} \, dx$

Найдем интеграл по той же формуле

$\displaystyle \int\limits^1_{-1} {x^2-2x+3} \, dx = {\dfrac{x^{3}}{3}-2\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+3x} ~\Bigg|\limits^1_{-1} = {\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+3x} ~\Bigg|\limits^1_{-1} =\dfrac13\Big(1^3-(-1)^3\Big)-\Big(1^2-(-1)^2\Big)+3\cdot\big(1-(-1)\big)= \dfrac{2}{3}+6=\dfrac{20}3$

2. b)

Фигура ограничена линиями $y=\dfrac12x^2+1,~ y=5.5$

Обратим внимание, что если мы из первого уравнения вычтем верхнюю границу 5.5, то площадь тоже можно найти определенным интегралом, пределы интегрирования - корни получившегося квадратного уравнения. Найдем их

$\displaystyle\dfrac12x^2+1-5.5=0\\\\x^2+2-11=0\\x^2=9\\\\\left [ {{x=3} \atop {x=-3}} \right.$

Запишем и найдем интеграл

$\displaystyle \int\limits^3_{-3} {\dfrac12x^2-4.5} \, dx= \dfrac{x^{3}}{6}-4.5x ~\Bigg|\limits^3_{-3} =\dfrac16\cdot\Big((3)^3-(-3)^3\Big)-4.5\cdot\big(3-(-3)\big)=9-27=-18$Площадь положительная, смело берем по модулю