Question

Решить подробно , пояснив метод решения которым вы будете решать задачу

Answer 1

$f(x)=\dfrac{4}{(3-2x)^2}$

Сначала найдем общий вид первообразных данной функции.

Для этого будем использовать следующие правила:

1. Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, то $kF(x)$ - первообразная для $kf(x)$.

2. Если $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, то $\dfrac{1}{k} F(kx+m)$ - первообразная для $f(kx+m)$.

Кроме этого, надо знать таблицу первообразных. Таблица первообразных - это по сутт таблица производных с той лишь разницей, что производные в ней играю роль исходных функций, а исходные функции - роль первообразных.

Пользуясь первым правилом, мы понимаем: чтобы найти первообразную функции $f(x)=\dfrac{4}{(3-2x)^2}$, надо найти первообразную функции $f(x)=\dfrac{1}{(3-2x)^2}$.

Пользуясь первым правилом, мы понимаем: чтобы найти первообразную функции $f(x)=\dfrac{1}{(3-2x)^2}$, надо найти первообразную функции $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$.

Можно вспомнить, что выражение $\dfrac{1}{x^2}$ фигурирует в таблице производных, а именно выполняется соотношение:

$\left(\dfrac{1}{x} \right)'=-\dfrac{1}{x^2}$

или:

$\left(-\dfrac{1}{x} \right)'=\dfrac{1}{x^2}$

Таким образом, первообразной для для функции $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ является функция $F(x)=-\dfrac{1}{x}$, а общий вид таких первообразных задается как $F(x)=-\dfrac{1}{x}+C$, где $C$ - некоторая константа.

Теперь вместо $x$ подставим в функцию выражение, имеющее вид линейной функции: $f(x)=\dfrac{1}{(3-2x)^2}$. По второму правилу, чтобы получить первообразную такой функции, мы должны в исходную первообразную вместо $x$ подставить это выражение и разделить получившуюся функцию на угловой коэффициент выражения. Получим:

$F(x)=\dfrac{1}{-2}\cdot\left(- \dfrac{1}{3-2x}\right)+C=\dfrac{1}{2(3-2x)}+C$

Теперь умножим функцию на 4: $f(x)=\dfrac{4}{(3-2x)^2}$. По первому правилу, тогда и первообразная умножится на 4:

$F(x)=\dfrac{4}{2(3-2x)}+C=\dfrac{2}{3-2x}+C$

Над константой какие-либо действия можно не выполнять, так как в результате все равно будет получена константа.

Множество первообразных можно также найти с помощью неопределенного интеграла, воспользовавшись формулой:

$\int\limits {x^n} \, dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C,\ n\neq -1$

$\int\limits {kf(x)} \, dx =k\int\limits {f(x)} \, dx$

$\int\limits {f(x)g'(x)} \, dx =\int\limits {f(x)} \, d(g(x))$

$d(f(x))=d(f(x)+C)$

Запишем:

$\int\dfrac{4}{(3-2x)^2}\,dx=4\int\dfrac{dx}{(3-2x)^2}=\dfrac{4}{-2} \int\dfrac{-2dx}{(3-2x)^2}=$

$=-2 \int\dfrac{d(-2x)}{(3-2x)^2}=-2 \int\dfrac{d(3-2x)}{(3-2x)^2}=-2 \int(3-2x)^{-2}d(3-2x)=$

$=-2\cdot\dfrac{(3-2x)^{-1}}{-1} +C=\dfrac{2}{3-2x}+C$

Теперь найдем значение $C$, при котором график функции $y=\dfrac{2}{3-2x}+C$ проходит через точку $\left(-\dfrac{1}{2} ;\ \dfrac{1}{16} \right)$:

$\dfrac{1}{16} =\dfrac{2}{3-2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)}+C$

$\dfrac{2}{3+1}+C=\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{2}{4}+C=\dfrac{1}{16}$

$C=\dfrac{1}{16}-\dfrac{2}{4}$

$C=\dfrac{1}{16}-\dfrac{8}{16}$

$C=-\dfrac{7}{16}$

Значит, искомая первообразная имеет вид:

$F(x)=\dfrac{2}{3-2x}-\dfrac{7}{16}$