Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Произведение матриц:

а)

$\boxed{ \boldsymbol{ A \cdot B = \begin{pmatrix} -5& 5& 7 \\ 1 & -6 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} } }$

$\boxed{ \boldsymbol{ B \cdot A = \begin{pmatrix} -10 &6& 2 \\ -3 & 2 &2 \\ -5 &2 & 0 \end{pmatrix} } }$

б)

$\boxed{ \boldsymbol{ A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 &5\\ 2 & -8 \\ 2& 0 \end{pmatrix} } }$

Объяснение:

а)

$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Так как матрицы $A,B$ - квадратные с размерностью 3, то их можно перемножать и для них работает перестановочный закон, то есть $A \cdot B = B \cdot A$.

$\boldsymbol{ A \cdot B} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} 1 \cdot ( -1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot (-2)& 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 +2 \cdot 3 \\ -3 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) & -3 \cdot 3 +2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & -3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1\cdot 3 \\ 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) & 0 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} -1 + 0 - 4& 3 + 0 + 2& 1 + 0 + 6 \\ 3 + 0 -2 & -9 + 2 +1 & -3 + 2 + 3 \\ 0 + 0 -2 & 0 +0 + 1 & 0 + 0 + 3 \end{pmatrix} \boldsymbol{ = \begin{pmatrix} -5& 5& 7 \\ 1 & -6 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} }$

$\boldsymbol{ B \cdot A} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 +3 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 & -1 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & -1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ -2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + 3 \cdot 0 & -2 \cdot 0+1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 & -2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} -1 -9 + 0 & 0 + 6 + 0 & -2 + 3 + 1 \\ 0 -3 +0 & 0 + 2 +0 &0+ 1+ 1 \\ -2 -3 +0 &0+2 + 0 & -4 + 1 + 3 \end{pmatrix} \boldsymbol{ = \begin{pmatrix} -10 &6& 2 \\ -3 & 2 &2 \\ -5 &2 & 0 \end{pmatrix} }$

б)

$A = \begin{pmatrix}2 & 1 & -2 \\ 3 & -4 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

Матрица $A$ имеет размер $3 \times 3$, а матрица $B$ - $3 \times 2$. Умножить матрицу A на матрицу B можно, так как количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B, а вот умножить матрицу B на матрицу A - нельзя, так как в таком случае количество столбцов матрицы B не равно количеству строк матрицы A.

$\boldsymbol{ A \cdot B} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -2 \\ 3 & -4 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \\ 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + (-4) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} 4 +1 + 0&0 +1 +4 \\ 6 -4 +0 & 0 -4 -4 \\ 2 + 0 + 0& 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} \boldsymbol{ = \begin{pmatrix} 5 &5\\ 2 & -8 \\ 2& 0 \end{pmatrix} }$